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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 So 19.02.2012 | | Autor: | Bilmem |
| Aufgabe | Die auf dem abgeschlossenen Intervall [0,1] durch
[mm] f(x):=\begin{cases} (x^2)^x, & \mbox{für } x\in (0,1] \\ 1, & \mbox{für } x=0 \end{cases}
[/mm]
definierte reelle Funktion ist stetig und nimmt nach einem Satz aus der Vorlesung auf ihrer Definitionsmenge jeweils das globale Maximum und das globale Minimum an. Bestimmen Sie jeweils alle globalen Maximumstellen und alle globalen Mimimumstellen und geben Sie das globale Maximum und das globale Minimum an! |
Wenn man jetzt in die erste Funktion x=1 einsetzt, hat man doch den höchsten Punkt gefunden und bei der 2. Funktion ist das ja schon gegeben, dass f(0)=1 ist und in die erste Funktion kann man die Null nicht einsetzen, habe ich jetzt also zweimal 1 raus oder wie funktioniert die Aufgabe? :/
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> Die auf dem abgeschlossenen Intervall [0,1] durch
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> [mm]f(x):=\begin{cases} (x^2)^x, & \mbox{für } x\in (0,1] \\ 1, & \mbox{für } x=0 \end{cases}[/mm]
>
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> definierte reelle Funktion ist stetig und nimmt nach einem
> Satz aus der Vorlesung auf ihrer Definitionsmenge jeweils
> das globale Maximum und das globale Minimum an. Bestimmen
> Sie jeweils alle globalen Maximumstellen und alle globalen
> Mimimumstellen und geben Sie das globale Maximum und das
> globale Minimum an!
>
> Wenn man jetzt in die erste Funktion x=1 einsetzt, hat man
> doch den höchsten Punkt gefunden und bei der 2. Funktion
> ist das ja schon gegeben, dass f(0)=1 ist und in die erste
> Funktion kann man die Null nicht einsetzen, habe ich jetzt
> also zweimal 1 raus oder wie funktioniert die Aufgabe? :/
stimmt, [mm] $(1^2)^1=1$. [/mm] Da bei 0 der y-Wert direkt angegeben ist, haben wir auch dort den Maixmalwert 1.Damit hast du als golabe Maximal zwei mal den Wert 1, bzw. 2 Maximalstellen. Das war doch beim ersten Beispiel (das von gestern) nicht anders. Die Funktion darf doch zwei mal ein Maximum annehmen, oder spricht etwas dagegen?
Bei den globalen Minima wird es schon interessanter, dieses kann ja nur bei der ersten Funktion liegen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 So 19.02.2012 | | Autor: | Bilmem |
Ja, jetzt müsste ich doch 1. Ableitung von der ersten Funktion bilden.
f'(x)= [mm] (x^2)^x [/mm] * [mm] (ln(x^2+2) [/mm] (wobei ich nicht weiß, wie man eine Ableitung von so einer Funktion bildet :S Hab das Ergebnis mit Wolfram bekommen)
Dann Nullsetzen und x berechnen, aber iwie habe ich im Moment Probleme damit. Ich würde jetzt [mm] (x^2)^x [/mm] als [mm] e^{x*lnx^2} [/mm] darstellen, aber weiß nicht, ob es der richtige Schritt ist ?!
Eine weitere Frage ist, dass die 1. Funktion im Punkt 0 gar nicht definiert ist, wie muss ich damit umgehen.
Vielen Dank Adamantin!
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> Ja, jetzt müsste ich doch 1. Ableitung von der ersten
> Funktion bilden.
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> f'(x)= [mm](x^2)^x[/mm] * [mm](ln(x^2+2)[/mm] (wobei ich nicht weiß, wie man
> eine Ableitung von so einer Funktion bildet :S Hab das
> Ergebnis mit Wolfram bekommen)
Genau mit deiner unten angegebenen Formel. Du schreibst es in eine Funktion mit der natürlichen E-Fkt um und leitest dann mittels Kettenregel die e-Funktion ab. Aber für das Verständnis ist Wolfram völlig legitim. Aber du hast einen Fehler, die 2 steht nicht im Logarithmus! Die richtige Ableitung lautet:
[mm] $f'(x)=(x^2)^x*(log(x^2)+2)$
[/mm]
>
> Dann Nullsetzen und x berechnen, aber iwie habe ich im
> Moment Probleme damit. Ich würde jetzt [mm](x^2)^x[/mm] als
> [mm]e^{x*lnx^2}[/mm] darstellen, aber weiß nicht, ob es der
> richtige Schritt ist ?!
Du hast ein Produkt, also muss [mm] $(x^2)^x$ [/mm] gleich 0 sein oder [mm] (lnx^2+2). [/mm] Der linke Term kann niemals 0 werden! Höchstens für x gegen minus Unendlich. Ansonsten hast du nur positive Terme, das wird nie null.
Den rechten Term kannst du auflösen und die NST berechnen!
>
> Eine weitere Frage ist, dass die 1. Funktion im Punkt 0 gar
> nicht definiert ist, wie muss ich damit umgehen.
Wozu brauchst du das? Du hast eine Definition in diesem Punkt, nämlich dass die Fkt dort 1 ist. Damit brauchst du hier nach keinen Minima zu suchen. Du hast ja schon alle Extrema bestimmt, uns interessieren nur Minima, das kann aber niemals bei x=0 liegen, denn dort ist bereits ein Maximum, nämlich 1. Also muss das Minimum zwischen 0 und 1 liegen.
>
> Vielen Dank Adamantin!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 So 19.02.2012 | | Autor: | Bilmem |
Ich kann das iwie nicht ausrechnen :S
[mm] (2+ln(x^2))*(x^2)^x= [/mm] 0
[mm] 2+ln(x^2) [/mm] = 0 | -2
[mm] ln(x^2) [/mm] = -2
2 * ln(x) = -2 |:2
ln(x) = -1
wie geht das jetzt weiter? :/
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Hallo Bilmem,
> Ich kann das iwie nicht ausrechnen :S
>
> [mm](2+ln(x^2))*(x^2)^x=[/mm] 0
>
> [mm]2+ln(x^2)[/mm] = 0 | -2
>
> [mm]ln(x^2)[/mm] = -2
>
> 2 * ln(x) = -2 |:2
>
> ln(x) = -1
>
> wie geht das jetzt weiter? :/
Wende auf beide Seiten die Exponentialfunktion an.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 So 19.02.2012 | | Autor: | Bilmem |
Wie mache ich das ? :/
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Hallo Bilmem,
> Wie mache ich das ? :/
So:
[mm]e^{\ln\left(x\right)}=e^{-1}[/mm]
Gruss
MathePower
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> Wie mache ich das ? :/
Deine vorherige Gleichung war:
ln(x) = -1
Beidseitig Exponentialfunktion anwenden liefert:
$\ [mm] e^{ln(x)}\ [/mm] =\ [mm] e^{-1}$
[/mm]
Wenn's da auch noch Probleme geben sollte, dann
schau dir deine Unterlagen zu den Themen
Exponentialfunktion, Logarithmus, e und ln nochmals
ausführlich durch !
LG
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