Winkel zwischen Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 Mi 12.09.2007 | | Autor: | baltazar |
| Aufgabe | Bestimme den Winkel zwischen den Ebenen.
[mm] E_{1} [/mm] : [mm] x_{1}+x_{2}+x_{3}=1
[/mm]
[mm] E_{2} [/mm] : [mm] \vec{x}= \vektor{2 \\-1\\ 1} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\1\\ -1} [/mm] + [mm] \mu \vektor{2 \\1\\ 3} [/mm] |
Ich kenne zwar die Formel mit der man den Winkel zwischen zwei Ebenen errechnen kann , aber ich weis diese nicht auf die gegebenen Ebenengleichungen anzuwenden.
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{\vec{m}*\vec{n}}{mn}
[/mm]
Ich bin für jeden guten Tipp Dankbar
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Mi 12.09.2007 | | Autor: | baltazar |
In diesem Zusammenhang würde mich noch interessieren welche Ebenengleichungen die Koordinatenebenen haben.
( [mm] x_{1},x_{2} [/mm] ; [mm] x_{2},x_{3} [/mm] ; [mm] x_{1},x_{3} [/mm] )
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Mi 12.09.2007 | | Autor: | Vreni |
Hallo baltazar,
die Gleichungen für die Koordinatenebeen lauten folgendermaßen:
[mm] x_1x_2-Ebene: x_3=0
[/mm]
[mm] x_1x_3-Ebene: x_2=0
[/mm]
[mm] x_2x_3-Ebene: x_1=0
[/mm]
Kann man sich ganz einfach überlegen/merken: die einzige Bedingung, die man für eine Koordinatenebene hat, ist, dass die dritte Koordinate (also [mm] x_1 [/mm] bei der [mm] x_2x_3-Ebene [/mm] usw.) =0 ist, für die beiden anderen Koordniaten sind alle Werte erlaubt.
Gruß,
Vreni
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Hallo balatazar!
In diese Formel musst Du die jeweiligen Normalenvektoren der Ebenen einsetzen.
Bei der Ebene [mm] $E_1$ [/mm] kannst Du diesen ja direkt aus der Koordinatenform "ablesen". Für die Ebene [mm] $E_2$ [/mm] musst Du einen Normalenvektor aus den beiden Richtungsvektoren ermitteln (entweder mittels  Skalarprodukt oder Kreuzprodukt).
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Do 13.09.2007 | | Autor: | baltazar |
Nabend und danke erstmal für die Antworten.
Mir ist allerdins noch nicht ganz geläufig wie ich da den Normalverktor "ablesen" kann.
Gruß Benjamin
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Hallo!
Den Winkel zwischen zwei Ebenen berechnet man durch den Winkel der entsprechenden Normalenvektoren.
Die Koeffizienten der Koordinatenschreibweise ist der Normalenvektor der [mm] E_1 [/mm] Ebene.
Um den Normalenvektor von [mm] E_2 [/mm] zu bestimmen, brauchst du einen Vektor, der auf BEIDEN Richtungsvektoren senkrecht steht (D.h. Skalarprodukt=0):
[mm] \vektor{1 \\ 1\\-1}\*\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1\\3}\*\vektor{x_1 \\ x_2\\x_3}=0
[/mm]
Oder wahlweise über das Kreuzprodukt bestimmen (falls ihr das hattet)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Do 13.09.2007 | | Autor: | baltazar |
Und was sagt mir das jetzt bzw. was muss ich noch machen damit ich den Winkel durch die Formel best. kann ? Ich kann das für mich irgentwie nicht sinnvoll kombinieren
Tut mir leid, aber ich bin extrem unterbelichtet in Matheangelegenheiten.
Letztes Semester hatte ich sogar einen Unterkurs. :-(
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Aaaalso...
Du brauchst erstmal die beiden Normalenvektoren der Ebenen.
Normalenvektor:= (Ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht.)
Wie du die Normalenvektoren bestimmst, hab ich dir ja schon geschrieben.
Da ja beide im Winkel von 90° auf den jeweiligen Ebenen stehen, ist der Winkel zwischen den Normalenvektoren gleich dem Winkel zwischen den Ebenen.
Jetzt musst du nurnoch den Winkel zwischen den Normalenvektoren durch:
[mm] cos(\alpha)=\bruch{\left| \vec{a}\*\vec{b} \right|}{\left| \vec{a}\right| \left|\vec{b}\right|}
[/mm]
(Folgt direkt aus der Definition des Skalarproduktes.)
Jetzt alles klar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 Do 20.09.2007 | | Autor: | baltazar |
Hat mir irgentwie nicht wirklich geholfen. Liegt aber warscheinlich an meinem Schlechten verständnis für solche Dinge
Aber danke allen für den Versuch .
Gruß Benjamin
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