Zählmass auf R < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Mit dem Messraum (X,A) := [mm] ([0,1],B(\IR)\cap [/mm] [0,1]) bezeichne [mm] \mu [/mm] das Zählmass und [mm] \lambda [/mm] das Lebesguemass auf A
a) Man zeige, dass [mm] \lambda [/mm] absolut stetig zu [mm] \mue
[/mm]
b) Man zeige, dass keine nicht-negative messbare Funktion existiert so dass
[mm] \lambda(M)=\integral_M [/mm] f [mm] d\mu [/mm] , M [mm] \in [/mm] A |
a) [mm] \mu(M)=0 \Rightarrow [/mm] M = [mm] \emptyset \Rightarrow \lambda(M)=0 \forall [/mm] M [mm] \in [/mm] A.
Ist meine Interpretation hier richtig von [mm] \mu [/mm] ?
Das Zählmass auf A ist doch nur endlich für eine Menge (von "Punkten") der Form [mm] \{a_0,a_2,...\}, [/mm] mit [mm] a_i \in \IR \forall [/mm] i also =0 [mm] \gdw [/mm] die Menge = [mm] \emptyset [/mm] ? [mm] \mu [/mm] jedes Intervalls ist doch unendlich, ja?
Was muss ich hier noch mit in Betracht ziehen oder ist das schon der Beweis bei a) ?
b) Annahme: [mm] \exists [/mm] f wie oben genannt.
Dann wäre [mm] \lambda([0,1])=1=\integral_{[0,1]} [/mm] f [mm] d\mu [/mm] aber [mm] \mu([0,1])=\infty [/mm] ???
Wie ist das hier zu zeigen?
Grüsse
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Hiho,
> a) [mm]\mu(M)=0 \Rightarrow[/mm] M = [mm]\emptyset \Rightarrow \lambda(M)=0 \forall[/mm]
> M [mm]\in[/mm] A.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ist meine Interpretation hier richtig von [mm]\mu[/mm] ?
Ja.
> Das Zählmass auf A ist doch nur endlich für eine Menge
> (von "Punkten") der Form [mm]\{a_0,a_2,...\},[/mm] mit [mm]a_i \in \IR \forall[/mm]
> i also =0 [mm]\gdw[/mm] die Menge = [mm]\emptyset[/mm] ? [mm]\mu[/mm] jedes Intervalls ist doch unendlich, ja?
Ja.
> Was muss ich hier noch mit in Betracht ziehen oder ist das schon der Beweis bei a) ?
Nein, ja 
Absolutstetigkeit ist eben genau das: Die Nullmengen von [mm] \mu [/mm] müssen auch Nullmengen von [mm] \lambda [/mm] sein. Es gibt aber eben nur eine [mm] \mu [/mm] Nullmenge.
> b) Annahme: [mm]\exists[/mm] f wie oben genannt.
>
> Dann wäre [mm]\lambda([0,1])=1=\integral_{[0,1]}[/mm] f [mm]d\mu[/mm] aber [mm]\mu([0,1])=\infty[/mm] ???
Ja.
Nur das "aber" ist hier falsch!
Der Wert des Integrals hängt ja von f ab, nimm bspw. [mm] $f\equiv [/mm] 0$, dann kommt da sicher nicht unendlich heraus.
Und du sollst jetzt gerade so ein f finden, dass das passt.
Dazu ein Tipp: Du musst die Gleichheit ja gar nicht für alle Mengen M aus der Borelschen Sigma-Algebra auf [0,1] zeigen, sondern es reichen dir bestimtme Mengen. Welche?
Dann überlege dir, wie [mm] \lambda [/mm] auf diesen Mengen aussieht und dann denke darüber nach, wie du f so definieren kannst, dass dort eben gerade das herauskommt bei dem Integral 
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Di 30.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo pablovschby,
bei b) hast du dich offenbar verschrieben und man soll zeigen, dass KEINE (nicht: "eine") solche Abbildung f existiert.
Nimm also, wie du es bereits getan hast, an, es gäbe ein solches f. Betrachte dann mal die Mengen der Form [mm] $M=\{x\}$ [/mm] für [mm] $x\in[0,1]$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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Danke euch.
Also ich habe das hier:
Sei A={x} für x [mm] \in [/mm] X beliebig
[mm] \lambda(A)=0=\integral_A [/mm] f [mm] d\mu [/mm] = [mm] f(x)*\mu(A)=f(x)=0 \gdw [/mm] f(x)=0 [mm] \forall [/mm] x
f muss also die Nullfunktion sein. Dann ist aber
[mm] \lambda([0,1])=1 \neq [/mm] 0 = 0 * [mm] \infty [/mm] = 0 * [mm] \mu([0,1]) [/mm] = [mm] \integral_{[0,1]} [/mm] 0 d [mm] \mu [/mm] (*)
Okay, das wäre ein Widerspruch. Aber bei (*) ist das doch falsch, ich darf doch gar nicht [mm] 0*\infty=0 [/mm] so berechnen (zumindest bei unserer Vorlesung nicht). Nun kann ich einfach sagen, dass die Integration der Nullfunktion unabhängig vom Mass immer 0 ergibt?
Bin da nicht überzeugt.
Grüsse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Mi 31.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke euch.
>
> Also ich habe das hier:
>
> Sei A={x} für x [mm]\in[/mm] X beliebig
>
> [mm]\lambda(A)=0=\integral_A[/mm] f [mm]d\mu[/mm] = [mm]f(x)*\mu(A)=f(x)=0 \gdw[/mm]
> f(x)=0 [mm]\forall[/mm] x
>
> f muss also die Nullfunktion sein. Dann ist aber
>
> [mm]\lambda([0,1])=1 \neq[/mm] 0 = 0 * [mm]\infty[/mm] = 0 * [mm]\mu([0,1])[/mm] =
> [mm]\integral_{[0,1]}[/mm] 0 d [mm]\mu[/mm] (*)
>
> Okay, das wäre ein Widerspruch. Aber bei (*) ist das doch
> falsch, ich darf doch gar nicht [mm]0*\infty=0[/mm] so berechnen
> (zumindest bei unserer Vorlesung nicht).
Das glaube ich nicht. Sieh nochmal nach.
> Nun kann ich
> einfach sagen, dass die Integration der Nullfunktion
> unabhängig vom Mass immer 0 ergibt?
Ist f=0 fast überall, so ist das Integral =0
FRED
>
> Bin da nicht überzeugt.
> Grüsse
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Die Argumentation mit fast überall klingt logisch. Jedoch habe ich extra nochmals nachgeschaut:
Multiplikation [mm] (\forall [/mm] x [mm] \in \IR):
[/mm]
[mm] x*\infty=\infty
[/mm]
[mm] -x*\infty=-\infty
[/mm]
!! (gefährlich: [mm] 0*\infty=0) [/mm] !!
[mm] \infty*\infty=\infty
[/mm]
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