Zahl berechnen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 Mi 04.02.2009 | | Autor: | briddi |
| Aufgabe | | Berechne die komplexe zahl [mm] (1+i)^{4711} [/mm] in der Form a+bi |
Ich habe angefangen die ersten 10 potenzen auszurechnen, um einen eventuellen zusammenhang zu erkennen,komm da aber nicht zu einem richtigen ergebnis.
gibt es an dieser stelle nicht auch eine ganz andere herangehensweise?
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Hallo briddi,
> Berechne die komplexe zahl [mm](1+i)^{4711}[/mm] in der Form a+bi
> Ich habe angefangen die ersten 10 potenzen auszurechnen,
> um einen eventuellen zusammenhang zu erkennen,komm da aber
> nicht zu einem richtigen ergebnis.
> gibt es an dieser stelle nicht auch eine ganz andere
> herangehensweise?
Schreibe mal $1+i$ in der Polarform [mm] $z=a+bi=r\cdot{}e^{i\cdot{}\varphi}$, [/mm] wobei $r=|z|$ und [mm] $\varphi=arg(z)$
[/mm]
Das ist hier für $z=1+i$ nicht besonders schwierig, das Argument kannst du anhand der Lage von $1+i$ im Koordinatensystem ablesen, $|1+i|$ ist auch einfach zu berechnen ...
Damit sollte es doch klappen, das Biest zu potenzieren 
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Mi 04.02.2009 | | Autor: | briddi |
ja gut dann müsste (1+i)= [mm] \wurzel{2} *e^{i*\bruch{\pi}{4}} [/mm] sein.
hilft mir aber auch nicht weiter,ich sollte das ohne taschenrechner ausrechnen,wobei ich das gerade sogar mit diesem versucht hab und der kann mir das auch nicht bestimmen.
es muss doch noch ne andere möglichkeit geben
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 Mi 04.02.2009 | | Autor: | MacMath |
Ist dir "polarkoordinaten" ein Begriff?
Oder weißt du zumindest wie man sich komplexe Zahlen geometrisch veranschaulichen kann?
Man kann diese Umrechnung durchaus im Kopf ausführen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 Mi 04.02.2009 | | Autor: | briddi |
ja ich weiss wie man sich das veranschaulichen kann, ich versteh einfach nur nicht was mir das helfen soll, steh wahrscheinlich total aufm schlauch...
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Hallo nochmal,
> ja gut dann müsste (1+i)= [mm]\wurzel{2} *e^{i*\bruch{\pi}{4}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
sein. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> hilft mir aber auch nicht weiter,ich sollte das ohne
> taschenrechner ausrechnen,wobei ich das gerade sogar mit
> diesem versucht hab und der kann mir das auch nicht
> bestimmen.
> es muss doch noch ne andere möglichkeit geben
Damit ist doch $(1+i)^{4711}=\sqrt{2}^{4711}\cdot{}\left(e^{\frac{\pi i}{4}\right)^{4711}=\sqrt{2}^{4711}\cdot{}e^{\frac{4711\pi i}{4}$
Nun nur noch den Exponenten $\mod 2\pi$ reduzieren ...
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:12 Do 05.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist [mm] $(1+i)^2 [/mm] = 2i$ also [mm] $(1+i)^4 [/mm] = -4$
Weiter ist 4711 = 4*1177 +3,
also
[mm] $(1+i)^{4711} [/mm] = [mm] ((1+i)^4)^{1177}(1+i)^3 [/mm] = - [mm] 4^{1177}(2i)(1+i)= 4^{1177}(2-2i)$
[/mm]
FRED
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