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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Di 19.01.2010 | | Autor: | ecko |
Hallo, folgendes Problem, 2 Aufgaben sind gegeben:
[mm] a_{0} [/mm] = [mm] b_{0} [/mm] = 1
a.) [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] 2*a_{n} [/mm] + n
b.) [mm] b_{n+1} [/mm] = [mm] 2*b_{n} [/mm] + n²
Gesucht ist Nun immer eine Formel um [mm] a_{n} [/mm] bzw [mm] b_{n} [/mm] direkt zu berechnen.
Dann soll dies bewiesen werden.
Aufgabe a.) habe ich nach einigen Minuten gelöst, mit [mm] a_{n}=2^{n+1}-(n+1)
[/mm]
bei AUfgabe b.) probiere ich nun schon seit 2 Stunden rumm, aber komm irgendwie nicht drauf. Ein anderes Problem ist der Beweis, sicherlich mit Induktion.
Kann jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Di 19.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo, folgendes Problem, 2 Aufgaben sind gegeben:
>
> [mm]a_{0}[/mm] = [mm]b_{0}[/mm] = 1
>
> a.) [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]2*a_{n}[/mm] + n
>
> b.) [mm]b_{n+1}[/mm] = [mm]2*b_{n}[/mm] + n²
>
> Gesucht ist Nun immer eine Formel um [mm]a_{n}[/mm] bzw [mm]b_{n}[/mm] direkt
> zu berechnen.
> Dann soll dies bewiesen werden.
>
> Aufgabe a.) habe ich nach einigen Minuten gelöst, mit
> [mm]a_{n}=2^{n+1}-(n+1)[/mm]
>
> bei AUfgabe b.) probiere ich nun schon seit 2 Stunden rumm,
> aber komm irgendwie nicht drauf. Ein anderes Problem ist
> der Beweis, sicherlich mit Induktion.
>
> Kann jemand helfen?
>
[mm] b_0=1
[/mm]
[mm] b_1=2*1 +0^2=2*1
[/mm]
[mm] b_2=2(2*1)+1^2=4*1+1^2
[/mm]
[mm] b_3=2(4*1+1^2)+2^2=8*1+2*1^2+2^2
[/mm]
[mm] b_4=2(8*1+2*1^2+2^2)+3^2=16*1+4*1^2+2*2^2+3^2
[/mm]
Na, wird auch nicht schöner...
Gruß Abakus
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:45 Di 19.01.2010 | | Autor: | ecko |
Irgendwie nicht, aber hab den Beweis fertig, war garnicht so schwer, jetzt nur noch die b. Danke schonmal für deine Antwort, bringt mich aber irgendwie nicht weiter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Di 19.01.2010 | | Autor: | ecko |
Hallo, also hab mir das von dir jetzt nochmal angeschaut und komme zur Formel:
b(n) = [mm] 2^{n} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{n-1} i^{2}*2^{(n-1)-i}
[/mm]
Das scheint ja erstmal richtig zu sein, bekommt man das Summenzeichen auch noch weg mit einer anderen Formel, oder keine Chance? Da so Induktion natürlich komplizierter ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Di 19.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hallo, also hab mir das von dir jetzt nochmal angeschaut
> und komme zur Formel:
>
> b(n) = [mm]2^{n}[/mm] + [mm]\summe_{i=1}^{n-1} i^{2}*2^{(n-1)-i}[/mm]
>
> Das scheint ja erstmal richtig zu sein, bekommt man das
> Summenzeichen auch noch weg mit einer anderen Formel, oder
> keine Chance? Da so Induktion natürlich komplizierter ist.
Nun, um das Summenzeichen wegzubekommen hilft ein bekannter Trick (den cu vermutlich noch nicht kennst). Der geht in etwa so:
Betrachte mal $f(x) := [mm] \sum_{i=0}^n x^i$. [/mm] Dies ist ja gleich [mm] $\frac{x^{n+1} - 1}{x - 1}$ [/mm] fuer $x [mm] \neq [/mm] 1$.
Nun ist $f'(x) = [mm] \sum_{i=1}^n [/mm] i [mm] x^{i-1}$ [/mm] und $x f'(x) = [mm] \sum_{i=1}^n [/mm] i [mm] x^i$. [/mm] Damit ist $(x f'(x))' = [mm] \sum_{i=1}^n i^2 x^{i-1}$ [/mm] und somit [mm] $\sum_{i=1}^n i^2 x^i [/mm] = x (x f'(x))'$. Jetzt kannst du $x (x f'(x))'$ mit $f(x) = [mm] \frac{x^{n+1} - 1}{x - 1}$ [/mm] bequem ausrechnen und erhaelst eine schoene Formel fuer [mm] $\sum_{i=1}^n i^2 x^i$, [/mm] falls $x [mm] \neq [/mm] 1$ ist. Wenn du jetzt $x = [mm] 2^{-1}$ [/mm] einsetzt, hast du fast deine Formel.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 Di 19.01.2010 | | Autor: | pi-roland |
Hallo,
hab auch keine Idee, wie man die Summe weg macht, aber mein Taschenrechner kennt dafür folgenden Ausdruck:
[mm] b_{n+1}=4*2^n-n^2-2n-3
[/mm]
Vielleicht hilft das ja schon.
Viel Erfolg beim Nachrechnen und beweisen,
Roland.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Do 21.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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