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Zeigen von Unabhängigkeit: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:37 Di 12.07.2005
Autor: Athena

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo alle! :)

Ich kaue gerade an folgender Aufgabe und weiss nicht mehr weiter, vielleicht kann mir jemand von euch auf den richtigen Weg helfen, ich würde mich arg freuen.

Ich hoffe ich krieg das mit dem Formelsystem hin, sogar die Hilfe dazu wird bei mir nicht richtig angezeigt. Wenn das nicht lesbar ist bzw nicht funktioniert würde ich mich freuen, wenn mir jemand sagen könnte was ich falsch mache.

"Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega, \cal{A}, \cal{P}) [/mm] mit Ereignissen A, B, [mm] A_1, A_2, [/mm] ... [mm] \in \cal{A}. [/mm] Zeigen sie die folgenden Aussage:

Gilt P(A) [mm] \in [/mm] {0,1} so sind A und jede beliebige Menge C [mm] \in \cal{A} [/mm] unabhängig."

So, also nehme ich erst mal P(A) = 0 an. Damit ist klar, dass die eine Seite der Gleichung gleich 0 wird, egal, was P(C) ist. Nur, wie kann ich P(A [mm] \cap [/mm] C) umformen, so dass klar wird, dass es 0 wird?

Vielen dank! :)
        
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Zeigen von Unabhängigkeit: Eigenschaft des Maßes
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:08 Di 12.07.2005
Autor: Jazzy

Hi,

Betrachte doch einmal die Mengen

[mm]A \cap C[/mm] und [mm] A[/mm]

Vergleiche diese beiden, welche ist größer? Was gilt dann wenn man

[mm]P(A \cap C)[/mm] und [mm] P(A)[/mm] vergleicht (Monotonie des Maßes)?

Gruß,
Jazzy
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Zeigen von Unabhängigkeit: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:24 Di 12.07.2005
Autor: Athena

Ahh!  A  [mm] \supseteq [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C) muss für alle (A [mm] \cap [/mm] C) gelten. Kann ich daraus schließen, dass P(A) [mm] \ge [/mm] P(A [mm] \cap [/mm] C) ist und da P(A) = 0 folgt auch P(A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \le [/mm] 0?

Und ich vermute mal, falls man so argumentieren kann wird der Fall P(A)=1 ähnlich zu zeigen sein? Danke! :D
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Zeigen von Unabhängigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:15 Di 12.07.2005
Autor: Julius

Hallo Athena!

Ja, das ist richtig. [daumenhoch]

Jetzt noch der Fall mit $P(A)=1$.

Sei also $C$ ein beliebig gewähltes Ereignis. Dann ist zu zeigen:

$P(A [mm] \cap [/mm] C) = P(A) [mm] \cap [/mm] P(C) = P(C)$.

Es gilt:

$P(A [mm] \cap [/mm] C) = P(A) + P(C) - P(A [mm] \cup [/mm] C)$.

Wegen $A [mm] \cup [/mm] C [mm] \supset [/mm] A$, $P(A)=1$ und der Monotonie des Maßes $P$ gilt:

$P(A [mm] \cup [/mm] C)=1$,

also:

$P(A [mm] \cap [/mm] C) = P(A) + P(C) - P(A [mm] \cup [/mm] C) = 1 + P(C) - 1 = P(C)$,

was zu zeigen war. :-)

Viele Grüße
Julius
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Zeigen von Unabhängigkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:30 Di 12.07.2005
Autor: Athena

Vielen Dank! :) Alles klar jetzt!
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