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| Aufgabe | In einem Metallstab breitet sich Wärme durch Wärmeleitung aus.
Mit u(t,x) bezeichnen wir die Temperatur des Stabes zur Zeit t und am Ort x (Abstand vom Anfang des Stabes)
Die in einem Volumen von V Kubikmetern gespeicherte Wärmemenge W ist direkt proportional zur Temperatur u: W=kVu.
der Durchmesser des Stabes ist d Meter.
Durch die Querschnittsfläche des Stabes an der Stelle x fließen nach dem Fickschen Gesetz -cd/dxu(t,x) Joule pro Sekunde und pro Quadratmeter Querschnittsfläche in positive x-Richtung.
die absolute Außentemperatur beträgt überall konstant ua Kelvin.
bei einer Temperatur von u im Stab fließen pro Quadratmeter Oberfläche und pro Sekunde v(u-ua) Joule Wärme nach außen.
Entwickeln Sie ein Zellenmodell für die Temperatur u(t,x) im Stab. |
Hallo!
Leider weiß ich nicht, wie ich dieses Beispiel anpacken soll. Wahrscheinlich muss ich alle Zu-und Abflüsse auflisten und letztendlich in eine Differentialgleichung schreiben, aber ich weiß einfach nicht, wie ich beginnen soll!
Vielen Dank für eure Hilfe!
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> In einem Metallstab breitet sich Wärme durch Wärmeleitung
> aus.
> Mit u(t,x) bezeichnen wir die Temperatur des Stabes zur
> Zeit t und am Ort x (Abstand vom Anfang des Stabes)
> Die in einem Volumen von V Kubikmetern gespeicherte
> Wärmemenge W ist direkt proportional zur Temperatur u:
> $\ W=k*V*u$.
> der Durchmesser des Stabes ist d Meter.
> Durch die Querschnittsfläche des Stabes an der Stelle x
> fließen nach dem Fickschen Gesetz $\ [mm] -c*\frac{d}{dx}\,u(t,x)$ [/mm] Joule pro
> Sekunde und pro Quadratmeter Querschnittsfläche in
> positive x-Richtung.
> die absolute Außentemperatur beträgt überall konstant
> [mm] u_a [/mm] Kelvin.
> bei einer Temperatur von u im Stab fließen pro
> Quadratmeter Oberfläche und pro Sekunde [mm] v(u-u_a) [/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> Joule Wärme nach außen.
Was bedeutet die in dieser Gleichung steckende Konstante v ?
Sie kann wohl nicht mit einem Volumen identifiziert werden ...
> Entwickeln Sie ein Zellenmodell für die Temperatur u(t,x)
> im Stab.
> Hallo!
> Leider weiß ich nicht, wie ich dieses Beispiel anpacken
> soll. Wahrscheinlich muss ich alle Zu-und Abflüsse
> auflisten und letztendlich in eine Differentialgleichung
> schreiben, aber ich weiß einfach nicht, wie ich beginnen
> soll!
Hallo julchen89,
wenn ich die Aufgabe richtig verstanden habe, soll die
Temperatur zu jedem Zeitpunkt t nur von x abhängig
sein. Mit anderen Worten heißt dies, dass der Stab dünn
sein muss, denn andernfalls müsste man auch noch die
radiale Ausbreitung der Wärme im Stab berücksichtigen.
Eine "Volumenzelle", die man betrachten muss, ist also
ein aus dem Stab ausgeschnittener Zylinder vom Durch-
messer d und der Höhe dx, der z.B. von x bis x+dx reicht.
Dieser Zylinder ist durch 3 Flächenstücke begrenzt, wobei
durch jedes von diesen ein zur jeweiligen Fläche senkrecht
stehender Gradientenvektor von konstantem Betrag den
Wärmedurchfluss bestimmt.
Nun kann man die Flüsse durch die 3 Teilflächen innerhalb
eines (kleinen bzw. infinitesimalen) Zeitintervalls der Länge
dt betrachten.
Der gesamte Wärmefluss (aus der Zelle raus) muss dem
Verlust an Wärme in der Zelle entsprechen, also kommt
man zu einer Gleichung:
$\ [mm] W_{Zelle}(t+dt)\ [/mm] =\ [mm] W_{Zelle}(t)\ +dt*(-c*Q*\frac{d}{dx}\,u(t,x+dx) +c*Q*\frac{d}{dx}\,u(t,x)-v*dM*(u(x)-u_a))$ [/mm]
Ich hoffe, dass ich dies einigermaßen richtig notiert habe.
Bitte kontrollieren !
Q steht für die Querschnittsfläche des Stabes und dM für
die (infinitesimale) Mantelfläche der zylindrischen Zelle.
Nun muss man versuchen, aus dieser Gleichung durch
Grenzwertbetrachtung eine DGL für u(t,x) zu erzeugen.
LG Al-Chw.
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