Zentrum einer Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Fr 05.02.2010 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Sei G eine endliche Gruppe und Z(G) das Zentrum.
Zeige dass |G/Z(G)| = [mm] \bruch{|G|}{|Z(G)|} [/mm] gilt. |
Dies hat doch sicherlich was mit Lagrange zu tun.
Z(G) ist eine Untergruppe von G. Also gilt nach Lagrange, dass die Ordnung von Z(G) die Ordnung von G teilt.
Aber weshalb entspricht dies genau der Ordnung von G/Z(G) ?
Folgt dies auch aus Lagrange?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Fr 05.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei G eine endliche Gruppe und Z(G) das Zentrum.
> Zeige dass |G/Z(G)| = [mm]\bruch{|G|}{|Z(G)|}[/mm] gilt.
> Dies hat doch sicherlich was mit Lagrange zu tun.
>
> Z(G) ist eine Untergruppe von G. Also gilt nach Lagrange,
> dass die Ordnung von Z(G) die Ordnung von G teilt.
Wie genau ist der Satz von Lagrange bei euch formuliert? Dass $|Z(G)|$ ein Teiler von $|G|$ ist? Oder dass $|G| = [G : Z(G)] [mm] \cdot [/mm] |Z(G)|$ ist? In dem Fall musst du beachten, dass $[G : Z(G)] = |G / Z(G)|$ ist.
> Aber weshalb entspricht dies genau der Ordnung von G/Z(G)
> ?
> Folgt dies auch aus Lagrange?
Normalerweise zeigt man fuer den Satz von Lagrange gerade, dass fuer eine Untergruppe $H$ gilt $|G| = |H| [mm] \cdot [/mm] |G/H|$ (wobei $G/H$ die Menge der Linksnebenklassen ist, oder der Rechtsnebenklassen, was einem gerade lieber ist  ).
Daraus folgt dann, dass $|H|$ ein Teiler von $|G|$ ist.
Wie genau ist euer Satz von Lagrange formuliert, und was genau zeigt ihr im Beweis?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Fr 05.02.2010 | | Autor: | jokerose |
Hallo,
Also wir hatten den Satz auf zwei Arten formuliert. Ersten, dass
|H|ein Teiler von |G| ist und zweitens, dass gilt |G| = |H| *|G/H|.
Was ist denn mit [G : Z(G)] genau gemeint?
Ist das die Anzahl der Nebenklassen von Z(G)?
Und weshalt ist dann [G : Z(G)] = |G/Z(G)| ?
In unserem Beweis haben wir einfach gezeigt, dass G eine disjunkte Vereinigung von Nebenklassen von H ist. Und daraus dann geschlossen, dass die Ordnung von H ein Teiler von der Ordnung von G ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Fr 05.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also wir hatten den Satz auf zwei Arten formuliert. Ersten,
> dass
> |H|ein Teiler von |G| ist und zweitens, dass gilt |G| = |H|
> *|G/H|.
Na, dann hast du doch die Aufgabe sofort geloest mit $H = Z(G)$.
> Was ist denn mit [G : Z(G)] genau gemeint?
> Ist das die Anzahl der Nebenklassen von Z(G)?
Ja.
> Und weshalt ist dann [G : Z(G)] = |G/Z(G)| ?
Weil $G / Z(G)$ die Menge der Nebenklassen ist. Und die Anzahl der Elemente dieser Menge ist halt die Anzahl der Nebenklassen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:41 Fr 05.02.2010 | | Autor: | jokerose |
aja genau.
hatte irgendwie die Definition von G/(Z(G) falsch im Kopf. 
Danke.
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