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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Sa 18.02.2006 | | Autor: | goldie20 |
| Aufgabe | | Wieviele Elemente besitzt der Zerfällungskörper von [mm] x^2+x+1 \in \IZ_2[x]? [/mm] |
Hallo zusammen,
leider weiß ich überhaupt nicht wie ich an die Aufgabe herangehen soll.
Kann mir da bitte jemand helfen.
Danke im voraus.
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 Sa 18.02.2006 | | Autor: | cycilia |
das Polynom ist irreduzibel in dem gegebenen Körper. Da in dem Zerfällungskörper jedes Polynom in Linwearfaktoren zerfallen muss, würde ich versuchen die Linearfaktoren zu bestimmen - also die nullstellen auszurechnen - egal in welchem Körper sie liegen. Mit dem Gradsatz solltest du dann bestimmen können, wie viele Elemente der Zerfällungskörper haben muss. Sicher bin ich mir aber nicht.
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Hallo,
wie ihr ja schon rausgefunden habt, sieht man, dass das Polynom irreduzibel ist. Das sieht man trivialerweise daran, dass es keine Nullstellen in [mm] \IZ_{2} [/mm] gibt.
Der Zerfällungskörper E entsteht nun Adjunktion einer Nullstelle a. Dabei zerfällt das Polynom über [mm] \IZ_{2}(a) [/mm] in Linearfaktoren. Damit ist auch die zweite Nullstelle in [mm] \IZ_{2}(a). [/mm] Wegen
[mm] [\IZ_{2}(a):\IZ_{2}]=2
[/mm]
besitzt E dann 4 Elemente.
Alles klar? Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Sa 18.02.2006 | | Autor: | goldie20 |
Wenn jetzt zum Beispiel [mm] [\IZ_2(a):\IZ_2]=3 [/mm] wäre, würde es dann 6 Elemente besitzen?? (mal 2 oder quadrieren?)
Gruß, goldie
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Hallo,
erst mal müsste man die Körpererweiterung da schon etwas anpassen. Am besten, du schaust dir in so einem Fall immer die Basis an und betrachtest alle möglichen Kombinationen!
VG Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 Sa 18.02.2006 | | Autor: | goldie20 |
Danke für deine Hilfe.
Gruß, goldie
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