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| Aufgabe | [mm] f(x,y)=\begin{cases} a & \mbox{fuer } -1 \le x \le 1 , 0\le y \le 1-x^2 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
("für" ging irgendwie nicht...)
Bestimme a, so dass f(x,y) Dichte ist
Bestimme Die Randdichten, die Erwartungswerte und Var(X) |
wie kann man die dx und dy abrücken?
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\integral_{-\infty}^{\infty}{a dy} dx}
[/mm]
=
[mm] \integral_{-1}^{1}{\integral_{0}^{1-x^2}{a dy} dx}
[/mm]
=
[mm] \integral_{-1}^{1}{[ay]_{0}^{1-x^2} dx}=
[/mm]
[mm] \integral_{-1}^{1}{a(1-x^2) dx}=a \integral_{-1}^{1}{(1-x^2) dx}=
[/mm]
a [mm] [x-\bruch{1}{3}x^2]_{-1}^{1} [/mm] = 1
=> a = [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
Randdichte x:
analog zu oben
[mm] f_x(x)=\integral_{0}^{1-x^2}{a dy} [/mm] = [mm] [ay]{_0}^{1-x^2} [/mm] = [mm] a*(1-x^2) [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}*(1-x^2)
[/mm]
E(X) = [mm] \integral_{-1}^{1}{x*f_x(x) dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{-1}^{1}{x*a(1-x^2) dx}
[/mm]
= a* [mm] \integral_{-1}^{1}{x-x^3 dx}=a*[0,5 x^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}x^4]_{-1}^{1} [/mm] = a* [(0,5 - [mm] \bruch{1}{4}) [/mm] - (0,5 - [mm] \bruch{1}{4})]=0
[/mm]
analog
[mm] E(X^2) [/mm] = [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
ABER jetzt:
Randdichte y:
[mm] f_y(y) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{-1}^{1}{a dx} [/mm] = [mm] [ax]_{-1}^{1} [/mm] = a - - a = 2a = 1,5
E(Y) = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{y*f_y(y) dy}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1-x^2}{y*1,5 dy}=[\bruch{3}{4} y^2]_{0}^{1-x^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{3}{4} [/mm] * [mm] (1-x^2)^2
[/mm]
Aber nun?! da sollte doch jetzt kein x mehr drin sein?!.... Irgendwo ist da also der Wurm drin, aber wo?
danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm]f(x,y)=\begin{cases} a & \mbox{für } -1 \le x \le 1\ ,\ 0\le y \le 1-x^2 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> ("für" ging irgendwie nicht...)
eine mbox hast du ja schon gesetzt. Ich habe nun das "ue"
durch "ü" ersetzt, und es scheint zu funktionieren ...
Als ich dann noch was Kleines innerhalb des "cases"
änderte, stand da plötzlich wieder das hässliche
"fÄØr" oder so ... aber einmal funktioniert's , dann
wieder nicht, ohne durchschaubares System
Ich vermute irgendeinen Fehler im Zusammenspiel von
$\ T_EX$ und Browser.
> wie kann man die dx und dy abrücken?
Siehe Eingabehilfen / Formeln / Platz zwischen den Zeichen
(ganz am Schluss)
Nimm einen ganzen Zwischenraum (backslash+space) oder
einen halben (backslash+Komma) :
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}\ {\integral_{-\infty}^{\infty}a\ dy\,dx}[/mm]
> = [mm]\integral_{-1}^{1}{\integral_{0}^{1-x^2}a\ dy\ dx[/mm]
LG Al-Chw.
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> [mm]f(x,y)=\begin{cases} a & \mbox{fuer } -1 \le x \le 1 , 0\le y \le 1-x^2 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> ("für" ging irgendwie nicht...)
>
> Bestimme a, so dass f(x,y) Dichte ist
> Bestimme Die Randdichten, die Erwartungswerte und Var(X)
> wie kann man die dx und dy abrücken?
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\integral_{-\infty}^{\infty}{a dy} dx}[/mm]
>
> =
> [mm]\integral_{-1}^{1}{\integral_{0}^{1-x^2}{a dy} dx}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{-1}^{1}{[ay]_{0}^{1-x^2} dx}=[/mm]
>
> [mm]\integral_{-1}^{1}{a(1-x^2) dx}=a \integral_{-1}^{1}{(1-x^2) dx}=[/mm]
>
> a [mm][x-\bruch{1}{3}x^2]_{-1}^{1}[/mm] = 1
>
> => a = [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
>
> Randdichte x:
>
> analog zu oben
> [mm]f_x(x)=\integral_{0}^{1-x^2}{a dy}[/mm] = [mm][ay]{_0}^{1-x^2}[/mm] =
> [mm]a*(1-x^2)[/mm] = [mm]\bruch{3}{4}*(1-x^2)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> E(X) = [mm]\integral_{-1}^{1}{x*f_x(x) dx}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{-1}^{1}{x*a(1-x^2) dx}[/mm]
> = a*
> [mm]\integral_{-1}^{1}{x-x^3 dx}=a*[0,5 x^2[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{4}x^4]_{-1}^{1}[/mm] = a* [(0,5 - [mm]\bruch{1}{4})[/mm] - (0,5
> - [mm]\bruch{1}{4})]=0[/mm]
> analog
> [mm]E(X^2)[/mm] = [mm]\bruch{1}{5}[/mm]
>
> ABER jetzt:
>
> Randdichte y:
> [mm]f_y(y)[/mm] = [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{-1}^{1}{a dx}[/mm] = [mm][ax]_{-1}^{1}[/mm] = a - - a = 2a =
> 1,5 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Die Integrationsgrenzen sind falsch. Diese sind nicht
-1 und +1, sondern vom jeweiligen Wert von y abhängig.
Zeichne dir das Integrationsgebiet auf !
> E(Y) = [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{y*f_y(y) dy}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{0}^{1-x^2}{y*1,5 dy}=[\bruch{3}{4} y^2]_{0}^{1-x^2}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{3}{4}[/mm] * [mm](1-x^2)^2[/mm]
> Aber nun?! da sollte doch jetzt kein x mehr drin
> sein?!.... Irgendwo ist da also der Wurm drin, aber wo?
>
> danke
LG Al-Chw.
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das habe ich bereits (aufgezeichnet), aber wie erkenne ich dann die richtigen Grenzen?
Die müssten dann ja für y = 0 (1 und -1) sein, für y= 1 (0 und 0) - rein aus der graphischen Betrachtung. Aber wie komme ich auf die entsprechende Formel für die Integralgrenzen?!
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> das habe ich bereits (aufgezeichnet), aber wie erkenne ich
> dann die richtigen Grenzen?
> Die müssten dann ja für y = 0 (1 und -1) sein, für y= 1
> (0 und 0) - rein aus der graphischen Betrachtung. Aber wie
> komme ich auf die entsprechende Formel für die
> Integralgrenzen?!
Löse die Parabelgleichung nach x auf !
LG Al-Chw.
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also x = [mm] \sqrt{1-y}
[/mm]
Randdichte y:
[mm] f_y(y) [/mm] = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{y-1}^{1-y}{a dx} [/mm] = [mm] [ax]_{y-1}^{1-y} [/mm] = a[(1-y)-(y-1) ] = 2a(1-y)
E(Y) = [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{y*f_y(y) dy}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{1-x^2}{y*2a(1-y) dy}=2a[0,5 y^2-\bruch{1}{3} y^3]_{0}^{1-x^2}
[/mm]
= 2a[0,5 [mm] (1-x^2)^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} (1-x^2)^3]
[/mm]
= 2a[0,5 [mm] (1-2x^2+x^4) [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} (1-x^2)*(1-2x^2+x^4)]
[/mm]
= 2a[0,5 [mm] (1-2x^2+x^4) [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} (1-2x^2+x^4)-(x^2-2x^4+x^6))]
[/mm]
= 2a[0,5 [mm] -x^2 [/mm] + 0,5 [mm] x^4) [/mm] - [mm] \bruch{1}{3} (1-3x^2+3x^4-x^6))]
[/mm]
= [mm] 2a[\bruch{1}{6} [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] -2,5 [mm] x^4 [/mm] + [mm] x^6))]
[/mm]
Somit wieder von x abhängig - aber vermutlich sind dann auch hier die Grenzen falsch?!.....
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Mi 16.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> also x = [mm]\sqrt{1-y}[/mm]
Nein. x = [mm] \pm[/mm] [mm]\sqrt{1-y}[/mm]
>
> Randdichte y:
> [mm]f_y(y)[/mm] = [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{f(x) dx}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{y-1}^{1-y}{a dx}[/mm]
Das stimmt nicht. Es ist [mm] f_y(y)= \integral_{- \sqrt{1-y}}^{\sqrt{1-y}}{a dx}
[/mm]
FRED
> = [mm][ax]_{y-1}^{1-y}[/mm] =
> a[(1-y)-(y-1) ] = 2a(1-y)
>
> E(Y) = [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{y*f_y(y) dy}[/mm]
> =
> [mm]\integral_{0}^{1-x^2}{y*2a(1-y) dy}=2a[0,5 y^2-\bruch{1}{3} y^3]_{0}^{1-x^2}[/mm]
>
> = 2a[0,5 [mm](1-x^2)^2[/mm] - [mm]\bruch{1}{3} (1-x^2)^3][/mm]
> = 2a[0,5
> [mm](1-2x^2+x^4)[/mm] - [mm]\bruch{1}{3} (1-x^2)*(1-2x^2+x^4)][/mm]
> = 2a[0,5
> [mm](1-2x^2+x^4)[/mm] - [mm]\bruch{1}{3} (1-2x^2+x^4)-(x^2-2x^4+x^6))][/mm]
>
> = 2a[0,5 [mm]-x^2[/mm] + 0,5 [mm]x^4)[/mm] - [mm]\bruch{1}{3} (1-3x^2+3x^4-x^6))][/mm]
>
> = [mm]2a[\bruch{1}{6}[/mm] + [mm]2x^2[/mm] -2,5 [mm]x^4[/mm] + [mm]x^6))][/mm]
>
> Somit wieder von x abhängig - aber vermutlich sind dann
> auch hier die Grenzen falsch?!.....
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also 2a [mm] \sqrt{1-y}
[/mm]
EY = 2a [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{y * \sqrt{1-y} \, dx}
[/mm]
= 2a [mm] \integral_{0}^{1-x^2}{y * \sqrt{1-y} \, dx}
[/mm]
WOW, das jetzt integriert zu bekommen.....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:30 Mi 16.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> also 2a [mm]\sqrt{1-y}[/mm]
>
> EY = 2a [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{y * \sqrt{1-y} \, dx}[/mm]
Nein. Es ist $ [mm] f_y(y)= \integral_{- \sqrt{1-y}}^{\sqrt{1-y}}{a dx} [/mm] $ für y [mm] \in [/mm] [0,1] und [mm] f_y(y)=0 [/mm] sonst.
>
> = 2a [mm]\integral_{0}^{1-x^2}{y * \sqrt{1-y} \, dx}[/mm]
Nein
= 2a [mm]\integral_{0}^{1}{y * \sqrt{1-y} \, dx}[/mm]
>
> WOW, das jetzt integriert zu bekommen.....
Substituiere $t= [mm] \sqrt{1-y}$
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Mi 16.03.2011 | | Autor: | gfm |
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} a & \mbox{fuer } -1 \le x \le 1 , 0\le y \le 1-x^2 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>
Also es ist
[mm] f(x,y)=3/4*1_{[-1,1]}(x)*1_{[0,1-x^2]}(y)
[/mm]
Die Randdichten sind dann
[mm]f_x(x):=\integral f(x,y)dy[/mm]
[mm]f_y(y):=\integral f(x,y)dx[/mm]
Also
[mm] f_x(x):=\integral 3/4*1_{[-1,1]}(x)*1_{[0,1-x^2]}(y)dy=3/4*1_{[-1,1]}(x)*\integral1_{[0,1-x^2]}(y)dy=3/4*1_{[-1,1]}(x)\lambda([0,1-x^2])=3/4*(1-x^2)*1_{[-1,1]}(x)
[/mm]
und
[mm] f_y(y):=\integral 3/4*1_{[-1,1]}(x)*1_{[0,1-x^2]}(y)dx=3/4*\integral 1_{[-1,1]}(x)*1_{[0,\infty)}(y)*1_{[y,\infty)}(1-x^2)dx=3/4*1_{[0,\infty)}(y)*\lambda([-1,1]\cap \{x: 1-x^2\in[y,\infty)\})
[/mm]
[mm] =3/4*1_{[0,\infty)}(y)*\lambda([-1,1]\cap \{x: x^2\in(-\infty,1-y]\})=3/4*1_{[0,1]}(y)*\lambda([-\wurzel{|1-y|},\wurzel{|1-y|}])
[/mm]
[mm] =3/2*1_{[0,1]}(y)*\wurzel{|1-y|}
[/mm]
LG
gfm
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was bitte ist [mm] 1_{[a,b]} [/mm] ?!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Mi 16.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> was bitte ist [mm]1_{[a,b]}[/mm] ?!
[mm]1_{[a,b]}(x)=1[/mm] , falls x [mm] \in [/mm] [a,b] und [mm]1_{[a,b]}(x)=0[/mm] , falls x [mm] \notin [/mm] [a,b]
Google mal unter "Indikatorfunktion" oder "charakteristische Funktion"
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 Mi 16.03.2011 | | Autor: | gfm |
> was bitte ist [mm]1_{[a,b]}[/mm] ?!
Ich (aber offenbar nicht viele andere) schreibe statt
[mm] \integral_A f(\omega)d\mu
[/mm]
gerne
[mm] \integral 1_A(\omega)*f(\omega)d\mu
[/mm]
Ob man am Integral notiert, dass die Funktion f über die Menge A zu integrieren ist, oder aber den maximal Möglichen zu läßt und dafür f mit der Indikatorfunktion [mm] 1_A [/mm] multipliziert, die nur für Elemente aus A von 0 verschieden den Wert 1 liefert, macht keinen Unterschied.
Für mich werden so die algebraischen Umformungsoptionen offenbarer. Und manchmal kann man das Ergebnis schneller und eleganter hinschreiben. Fallunterscheidungen passen oft in eine Zeile.
Vielleicht sagt es Dir auch zu. Wenn nicht, auch nicht schlimm. Ist halt mal was anderes.
LG
gfm
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