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Hallo,
ich habe keine direkte Aufgabenstellung, eher ein Verständnisproblem.
Ich weiß, dass wenn X,Y unabhänige ZG(z.b geometrisch verteilt) sind gilt:
[mm] \IP [/mm] (X=Y) = [mm] \sum_{k\in \IN} \IP(X=k,Y=k) [/mm]
= [mm] \sum_{k\in \IN} \IP(X=k)\IP(Y=k)
[/mm]
= einsetzen und ausrechnen
= [mm] \frac{p}{2-p}
[/mm]
was ist nun aber für [mm] \IP(X \le [/mm] Y), und [mm] \IP(X\ge [/mm] Y) ?
Ich denke mir das so:
[mm] \IP(X \le [/mm] Y) = [mm] \sum_{k\in \IN} \IP(X\le [/mm] k,Y=k)
= [mm] \sum_{k\in \IN} \IP(X\le [/mm] k) [mm] \IP( [/mm] Y=k)
= [mm] \sum_{k\in \IN} (\sum_{l = 0}^k \IP(X [/mm] = l)) [mm] \IP(Y=k) [/mm]
= [mm] \sum_{k\in \IN} (\sum_{l = 0}^k p(p-1)^l) p(p-1)^k [/mm]
Allerdings wüsste ich nicht was da rauskommen soll...
und hier noch für größer gleich:
[mm] \IP(X \ge [/mm] Y) = [mm] \sum_{k\in \IN} \IP(X\ge [/mm] k,Y=k)
= [mm] \sum_{k\in \IN} \IP(X\ge [/mm] k) [mm] \IP( [/mm] Y=k)
= [mm] \sum_{k\in \IN} [/mm] (1 - [mm] \IP(X\le [/mm] k)) [mm] \IP(Y=k)
[/mm]
= [mm] \sum_{k\in \IN} [/mm] (1 - [mm] \sum_{l = 0}^k \IP(X [/mm] = l)) [mm] \IP(Y=k) [/mm]
= [mm] \sum_{k\in \IN} [/mm] (1 - [mm] \sum_{l = 0}^k p(p-1)^l) p(p-1)^k
[/mm]
Ich fänd es super, wenn mir jemand das erklären könnte, da ich das noch nicht verstanden habe.
Viele Dank
MatheJeany
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> Ich weiß, dass wenn X,Y unabhänige ZG(z.b geometrisch
> verteilt) sind gilt:
> [mm]\IP[/mm] (X=Y) = [mm]\sum_{k\in \IN} \IP(X=k,Y=k)[/mm]
> = [mm]\sum_{k\in \IN} \IP(X=k)\IP(Y=k)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> = einsetzen und
> ausrechnen
> = [mm]\frac{p}{2-p}[/mm]
> was ist nun aber für [mm]\IP(X \le[/mm] Y), und [mm]\IP(X\ge[/mm] Y) ?
> Ich denke mir das so:
>
> [mm]\IP(X \le[/mm] Y) = [mm]\sum_{k\in \IN} \IP(X\le[/mm] k,Y=k)
> = [mm]\sum_{k\in \IN} \IP(X\le[/mm] k) [mm]\IP([/mm] Y=k)
> = [mm]\sum_{k\in \IN} (\sum_{l = 0}^k \IP(X[/mm] = l)) [mm]\IP(Y=k)[/mm]
> = [mm]\sum_{k\in \IN} (\sum_{l = 0}^k p(p-1)^l) p(p-1)^k[/mm]
>
> Allerdings wüsste ich nicht was da rauskommen soll...
Ja, der Ansatz ist zielführend, wenn auch ein klein wenig Umständlich 
Warum nicht gleich in eine Doppelsumme umschreiben?
Mach dir mal klar, dass dein
[mm]\sum_{k\in \IN} (\sum_{l = 0}^k \IP(X[/mm] = l)) [mm]\IP(Y=k)[/mm]
das gleiche ist wie:
[mm] $\sum_{k\in \IN} \sum_{l\in \IN} \IP(X=l) \IP(Y=k)$
[/mm]
> Allerdings wüsste ich nicht was da rauskommen soll...
Ja wie hast du es denn vorher ausgerechnet? Der Weg geht hier analog über die geometrische Summenformel.
Versuch dich mal dran und poste deine Versuche.
> und hier noch für größer gleich:
>
> [mm]\IP(X \ge[/mm] Y) = [mm]\sum_{k\in \IN} \IP(X\ge[/mm] k,Y=k)
> = [mm]\sum_{k\in \IN} \IP(X\ge[/mm] k) [mm]\IP([/mm] Y=k)
> = [mm]\sum_{k\in \IN}[/mm] (1 - [mm]\IP(X\le[/mm] k)) [mm]\IP(Y=k)[/mm]
Vorweg: Du machst hier einen nicht unwichtigen Fehler!
Das Gegenereignis von [mm] $\IP(X \ge [/mm] k)$ ist NICHT [mm] $\IP(X\le [/mm] k)$, sondern was?
Dann: Warum erst so spät über die Gegenwahrscheinlichekit und nicht gleich am Anfang? Schreibe dein Ereignis $(X [mm] \ge [/mm] Y)$ doch sofort als Kombination von Ereignissen hin, von denen du die Wahrscheinlichkeit vorher schon ausgerechnet hast. Dann musst du nichts mehr rechnen!
Lieben Gruß,
Gono.
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Ich fang mal an bei:
[mm] \sum_{k\in \IN} \sum_{l\in \IN} \IP(X=l) \IP(Y=k) [/mm] = [mm] \sum_{k\in \IN} \sum_{l\in \IN} p^2(1-p)^l (1-p)^k
[/mm]
= [mm] \sum_{k\in \IN} p^2 \frac{1}{1-(1-p)} (1-p)^k
[/mm]
= [mm] \sum_{k\in \IN} p(1-p)^k
[/mm]
= 1
und das kann nicht hinhauen, da sonst ja immer gelten würde, dass [mm] X\le [/mm] Y.
Ich denke, dass ich da in der Summe irgendetwas falsch mache...
Zu dem Zweiten: jaaa verdammt, es ist natürlich "kleiner" und nicht "kleiner gleich"
also:
[mm] \IP(X \ge [/mm] Y) = 1 - [mm] \IP(X [/mm] < Y)
= 1 - [mm] \sum_{k\in \IN}\IP(X
= 1 - [mm] \sum_{k\in \IN} (\sum_{l = 0}^{k-1} \IP(X=l)) \IP(Y=k)
[/mm]
und das ist ja wieder wie oben, oder?
= 1 - [mm] \sum_{k\in \IN} \sum_{l\in \IN} \IP(X=l) \IP(Y=k)
[/mm]
was dann auch wieder zum gleichen Problem führt...
denn dann wäre
= 1 - 1 = 0
Vielen Dank für die Hilfe
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Hiho,
> und das kann nicht hinhauen, da sonst ja immer gelten
> würde, dass [mm]X\le Y[/mm].
Gut erkannt
Nur leider hast du übersehen, dass mir beim Copy&Paste ein Fehler unterlaufen ist 
Natürlich darf die innere Summe nicht über alle [mm] $l\in\IN$ [/mm] laufen, sondern nur über alle [mm] $l\le [/mm] k$.
Dass als Summe über alle [mm] l,k\in \IN [/mm] eins herauskommt, ist natürlich richtig und auch sinnvoll *g*
> Zu dem Zweiten: jaaa verdammt, es ist natürlich "kleiner"
> und nicht "kleiner gleich"
Gut erkannt
> [mm]\IP(X \ge[/mm] Y) = 1 - [mm]\IP(X[/mm] < Y)
Und hier weiterzurechnen wäre einfach überflüssig und zeitaufreibend.
Nutze doch einfach, dass [mm] $\{X < Y\} [/mm] = [mm] $\{X \le Y \} \setminus \{X = Y\}$.
[/mm]
Und den Rest kannst du einfach berechnen.
LG,
Gono.
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