Zusammenhang < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:42 Di 17.04.2012 | | Autor: | kiwibox |
Hallo liebes Matheraum-Team,
ich grübel schon seit einiger Zeit über die Aufgabe:
Beweis oder widerlege:
Ist A in [mm] \IC [/mm] abgeschlossen und ist [mm] \delta [/mm] A zusammenhängend, so ist A zusammenhängend.
Ich habe keine Ahnung, ob es stimmt oder nicht. Mein bisheriger Ansatz war [mm] A=\overline{A}=A \cup \delta [/mm] A. Somit wäre der Rand, der zusammenhängend ist, in der Menge von A enthalten.
Nun kommt mein Problem, ich finde keinen Satz den ich darauf anwenden kann, ich finde weder zwei offene oder abgeschlossene disjunkte nichtleere Mengen noch ist der Durchschnitt von int(A) [mm] \cap \delta [/mm] A nichtleer und somit auch nicht zusammenhängend (vorausgesetzt int(A) wäre zusammenhängend) noch...
Hat vielleicht einer eine Idee und kann mir weiterhelfen? Ich wäre für jeden Gedankenanstoß dankbar.
Viele Grüße, kiwibox 
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 09:31 Di 17.04.2012 | | Autor: | hippias |
Ich glaube, ich wuerde hier direkt mit der Definition argumentieren:
Sei [mm] $A\subseteq X\cup [/mm] Y$, $X,Y$ offen und disjunkt. Ferner sei oBdA [mm] $\delta A\subseteq [/mm] X$. Ein [mm] $x\in \delta(A\cap [/mm] Y)$ kann kein Randpunkt von $A$ sein.
Tut mir Leid, ich versuche es spaeter nocheinmal; jetzt fehlt mir doch die Zeit!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Mi 18.04.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo kiwibox!
> Hallo liebes Matheraum-Team,
>
> ich grübel schon seit einiger Zeit über die Aufgabe:
> Beweis oder widerlege:
> Ist A in [mm]\IC[/mm] abgeschlossen und ist [mm]\delta A [/mm]
> zusammenhängend, so ist A zusammenhängend.
>
> Ich habe keine Ahnung, ob es stimmt oder nicht. Mein
> bisheriger Ansatz war [mm]A=\overline{A}=A \cup \delta[/mm] A. Somit
> wäre der Rand, der zusammenhängend ist, in der Menge von
> A enthalten.
> Nun kommt mein Problem, ich finde keinen Satz den ich
> darauf anwenden kann, ich finde weder zwei offene oder
> abgeschlossene disjunkte nichtleere Mengen noch ist der
> Durchschnitt von [mm]int(A) \cap \delta A[/mm] nichtleer und somit
> auch nicht zusammenhängend (vorausgesetzt int(A) wäre
> zusammenhängend) noch...
Damit nimmst du die Aussage vorweg, denn wenn das Innere von A zusammenhängend ist, dann ist auch A zusammenhängend.
Der interessante Fall ist also der, dass $int(A)$ nicht zusammenhängend ist, aber [mm] $\delta [/mm] A$ zusammenhängend.
Beispiel: Stell dir die zwei abgeschlossenen Einheitskreisschreiben um die Punkte -1 und +1 vor. Ihre Vereinigung ist so eine Menge A. Sie ist abgeschlossen und zusammenhängend. Das Innere von A besteht aus der Vereinigung der beiden offenen Einheitskreisscheiben und ist nicht zusammenhängend.
> Hat vielleicht einer eine Idee und kann mir weiterhelfen?
> Ich wäre für jeden Gedankenanstoß dankbar.
A ist ja ein Teilmenge von [mm]\IC[/mm], und daher zusammenhängend, wenn sie in der Teilraumtopologie zusammenhängend ist.
Leichter ist das zu verstehen, wenn man es umgekehrt ausdrückt: A ist nicht zusammenhängend, wenn es zwei (nicht nowendigerweise disjunkte offene Mengen [mm] $U,V\subset \IC$ [/mm] gibt, sodass (a) [mm] $(U\cap A)\cap (V\cap A)=\emptyset$ [/mm] und (b)$ [mm] (U\cap A)\cup (V\cap [/mm] A)=A$.
(a) kann man schreiben: $A [mm] \cap (U\cap [/mm] V) = [mm] \emptyset$, [/mm] also A enthält keine Punkte aus dem Durchschnitt [mm] $U\cap [/mm] V$, und (b) impliziert wegen [mm] $(U\cap A)\cup (V\cap [/mm] A) = [mm] (U\cup V)\cap [/mm] A$, dass [mm] $A\subset U\cup [/mm] V$.
Also: A ist zusammenhängend, wenn für jedes Paar offener Mengen [mm] $U,V\subset \IC$ [/mm] mit $A [mm] \cap (U\cap [/mm] V) = [mm] \emptyset$ [/mm] gilt: [mm] $(U\cup V)\cap [/mm] A [mm] \not=A [/mm] $ (oder auch: $ [mm] A\not\subset U\cup [/mm] V$).
Laut Voraussetzung des Satzes gilt dies für [mm] $\delta [/mm] A$. Nun wende dies auf [mm] $A=int(A)\cup\delta [/mm] A$ an!
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
