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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:51 So 10.09.2006 | | Autor: | Fanca |
| Aufgabe | | Die Graphen von f und g mit f(x) = 4 - [mm] 0,25*x^{2} [/mm] und g(x) = [mm] 0,5*x^{2}-2 [/mm] begrenzen eine Fläche, der ein zur y - Achse symmetrisches Rechteck einbeschrieben wird. Für welche Lage der Eckpunkte wird sein Flächeninhalt extremal? Geben Sie Art und Wert des Extremums an. |
Hallo,
hier meine bisherige Rechnung, Skizze hab ich nicht:
Zielfunktion: A = a*b
Nebenbedingung:
a = 4 - [mm] 0,25*x^{2}
[/mm]
b = [mm] 0,5*x^{2}-2
[/mm]
A(x) = (4 - [mm] 0,25*x^{2})*(0,5*x^{2}-2)
[/mm]
A(x) = [mm] 2*x^{2} [/mm] + 8 - [mm] 0,125*x^{2}+ [/mm] 0,5
A(x) = [mm] 1,875*x^{2} [/mm] + 8,5
A'(x) = 3,75*x
A' (x) = 0
0 = 3,75*x
Aber 0:3,75 gibt 0, wie gehts denn nun weiter? Wahrscheinlich hab ich in der vorherigen Rechnung auch schon was falsch gemacht, oder?
Danke für eure Hilfe!
Simone
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Hallo,
erst einmal grundsätzlich: Fertige bei jeder Extremwertaufgabe insofern eine Skizze an, als es aufgabenspezifisch möglich ist!
Sonst passieren dir nämlich solche Fehler, wie in dieser Aufgabe. :)
$ [mm] A_{Viereck}=a*b [/mm] $
ist richtig, da ja der Flächeninhalt maximal werden soll.
In der Skizze siehst du deutlich, dass sich die horizontalen Vierecksseiten nicht aus dem Funktionswert der ersten Funktionsgleichung zusammensetzen, da Funktionswerte immer die vertikale Achse, nicht die horizontale Achse, darstellen.
Da die x- und y-Werte der Eckpunkte nicht bekannt sind, kannst du den zu findenden Eckpunkten erst einmal eine Variable zuordnen (z. B. z), welche bei den horizontalen Seiten die x-Werte, bei den vertikalen Seiten die Funktionswerte, der beiden Funktionen, beschreibt.
Wenn a die horizontalen Seiten darstellt, muss a aus Symmetriegründen 2*z sein, b ist folglich f(z) + g(z), da aber g(z) negativ ist, muss es b = f(z) - g(z) heißen, damit du die absolute Länge der Seite b bekommst.
Jetzt hast du die Zielfunktion:
[mm] $A(z)=2z*[4-0,25z^2-(0,5z^2-2)]$=-1,5z^3+12z
[/mm]
Nun auf Extrema untersuchen.
[mm] A'(z)=-4,5z^2+12
[/mm]
NB: [mm] A'(z_{0})=0.
[/mm]
$A'(z)=0 [mm] \gdw -4,5z^2+12=0 \gdw z_{1/2}=\pm\wurzel{\bruch{8}{3}}$
[/mm]
HB: [mm] A'(z_{0})=0 \wedge A''(z_{0})\not=0.
[/mm]
$A''(z)=-9z$
[mm] A''(\wurzel{\bruch{8}{3}})=-9*\wurzel{\bruch{8}{3}}<0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Maximum
Da die Definitionsmenge
[mm] D=\{z\in\IR|0
ist, fällt [mm] z_{2} [/mm] weg.
Somit wird der Flächeninhalt für [mm] z=\wurzel{\bruch{8}{3}} [/mm] maximal.
Grüße,
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:24 So 10.09.2006 | | Autor: | Fanca |
Hallo,
Danke für deine Rechnung.
Ich hab generell das Problem, dass ich die Aufgabenstellung nicht so gut verstehe und mir somit keine Skizze machen kann.
Aber danke für die Rechnung, ich habs hier jetzt zumindest verstanden 
LG Simone
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