Zwei Normen nicht äquivalent < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Fr 02.11.2012 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | Für [mm] a,b\in\IR,$a
[mm] ||.||_{\infty}:C[0,1]\to\IR, $||f||_{\infty}=\underset{0\le x\le 1}{max} [/mm] |f(x)|$
und
[mm] ||.||_1:C[0,1]\to\IR,$||f||_1=\integral_0^1 [/mm] |f(x)| [mm] \;dx$
[/mm]
gegebenen Normen auf C[0,1] sind nicht äquivalent. |
Hallo,
man soll hier also zeigen, dass die beiden Normen nicht äquivalent sind. Die Normeigenschaften müssen nicht nachgewiesen werden.
Mir liegt die folgende Definition vor:
Zwei Normen [mm] ||.||_a [/mm] und [mm] ||.||_b [/mm] auf einem linearen Raum X heißen
äquivalent, wenn es reelle Zahlen [mm] \alpha, \beta>0 [/mm] gibt, so dass
[mm] \alpha ||x||_b\le ||x||_a\le \beta ||x||_b [/mm] für alle [mm] x\in [/mm] X
gilt. Die größte derartige Zahl [mm] \alpha [/mm] und die kleinste derartige Zahl [mm] \beta [/mm] werden als Äquivalenzkonstanten bezeichnet.
Mein Ansatz wäre dieser:
Um zu zeigen, dass die beiden Normen nicht äquivalent sind, muss man zeigen, dass es keine zwei Zahlen [mm] \alpha, \beta\in\IR^+ [/mm] gibt so, dass gilt
[mm] \alpha ||f||_b\le ||f||_a\le \beta ||f||_b [/mm] .
Sei also [mm] f_n:C[0,1]\to\IR [/mm] eine stetige Funktionenfolge mit [mm] f_n(x):=x^n.
[/mm]
Dann gilt für [mm] $||f_n||_{\infty}=||x^n||_{\infty}=\underset{0\le x\le 1}{max}|x^n|=1^n=1 \overset{n\to\infty}{\rightarrow} [/mm] 1 $
und für [mm] $||f_n||_1=||x^n||_1=\integral_0^1 |x^n| dx=\left[\bruch{x^{n+1}}{n+1}\right]_0^1=\bruch{1^{n+1}}{n+1}-\bruch{0^{n+1}}{n+1}=\bruch{1}{n+1} \overset{n\to\infty}{\rightarrow} [/mm] 0.$
Wie geht es nun weiter? Wie folgt daraus, dass es kein Alpha oder Beta gibt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:19 Fr 02.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Gäbe es ein [mm] \beta [/mm] > 0 mit
[mm] ||f||_{\infty}\le \beta ||f||_1 [/mm] für alle f [mm] \in [/mm] C[0,1], so würde auch gelten:
[mm] ||f_n||_{\infty}\le \beta ||f_n||_1 [/mm] für alle n.
Dabei ist [mm] (f_n) [/mm] , die von Dir gewählte Folge. Setzte nun Deine Resultste ein.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:59 Fr 02.11.2012 | | Autor: | triad |
Ah ja, natürlich! Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 So 04.11.2012 | | Autor: | Kyres |
Reicht nicht schon, dass gezeigt wurde, dass die Funktionenfolge fn bzgl der zwei Normen gegen zwei verscheidene Grenzwert konvergiert (also gegen 1 und 0)?
Wegen dem Korollar:
Die Grenzelemente einer Folge stimmen bzgl zweier äuqivalenter Normen überein.?
Wenn nicht, würde ich gerne wissen warum und habe folgendes Problem zum Lösen der Aufgabe:
Der obige Ansatz führt zu:
1 [mm] \le \bruch{\beta}{n+1}
[/mm]
Wie kann ich nun den Grenzwert n gegen [mm] \infty [/mm] mit einbringen, sodass ich einen Widerspruch bekomme und es kein solches [mm] \beta [/mm] geben kann, wodurch die Normen nicht äquivalent sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 So 04.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Reicht nicht schon, dass gezeigt wurde, dass die
> Funktionenfolge fn bzgl der zwei Normen gegen zwei
> verscheidene Grenzwert konvergiert (also gegen 1 und 0)?
>
> Wegen dem Korollar:
>
> Die Grenzelemente einer Folge stimmen bzgl zweier
> äuqivalenter Normen überein.?
Ja, das ist richtig.
>
> Wenn nicht, würde ich gerne wissen warum und habe
> folgendes Problem zum Lösen der Aufgabe:
>
> Der obige Ansatz führt zu:
>
> 1 [mm]\le \bruch{\beta}{n+1}[/mm]
>
> Wie kann ich nun den Grenzwert n gegen [mm]\infty[/mm] mit
> einbringen, sodass ich einen Widerspruch bekomme und es
> kein solches [mm]\beta[/mm] geben kann, wodurch die Normen nicht
> äquivalent sind?
>
Wenn 1 [mm]\le \bruch{\beta}{n+1}[/mm] für alle n gilt, so führt das mit n [mm] \to \infty [/mm] zum Widerspruch 1 [mm] \le [/mm] 0
FRED
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