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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:26 Mo 30.05.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Sei $D [mm] \subset \mathbb{C} [/mm] $ ein sternförmiges Gebiet
i) Konstruiere einen Zweig F(z) von [mm] $\wurzel[n]{z}$ [/mm] (ohne explizite Verkettung mit dem Logarithmus in der Definition)
ii)
Wie viele verschiedene Zweige von [mm] $\wurzel[n]{z}$ [/mm] gibt es auf D? |
Soweit ich weiß muss ich eine Funktion F(z) finden, sodass exp(F(z))= [mm] $\wurzel[n]{z}$
[/mm]
Ist du [mm] $\iff$ [/mm] zu
[mm] $exp(n*log(z))=\wurzel[n]{z}$, [/mm] nun darf ich hier die Verkettung nicht anwenden, wie gehe ich denn bloß vor?
Im Buch habe ich folgendes gefunden,
Zu jeder Komplesxen Zahl $w [mm] =\wurzel[n]{r*e^{\frac{\phi +2k \pi}{n}}}
[/mm]
[mm] =r^{\frac{1}{n}}* (cos(\frac{\phi+k2\pi}{n})+isin(\frac{\phi+k*2\pi}{n})) [/mm] $
Kann jemand helfen,
Viele Grüße
Nadia ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Mo 30.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadia!
> Sei [mm]D \subset \mathbb{C}[/mm] ein sternförmiges Gebiet
>
> i) Konstruiere einen Zweig F(z) von [mm]\wurzel[n]{z}[/mm] (ohne
> explizite Verkettung mit dem Logarithmus in der
> Definition)
> ii)
> Wie viele verschiedene Zweige von [mm]\wurzel[n]{z}[/mm] gibt es
> auf D?
> Soweit ich weiß muss ich eine Funktion F(z) finden,
> sodass [mm]\exp(F(z))= \wurzel[n]{z}[/mm]
> Ist du [mm]\iff[/mm] zu
> [mm]exp(n*log(z))=\wurzel[n]{z}[/mm], nun darf ich hier die
> Verkettung nicht anwenden, wie gehe ich denn bloß vor?
Nein, dass wäre ein Zweig der Logarithmusfunktion. Du brauchst
[mm] (F(z))^n = z [/mm] .
> Im Buch habe ich folgendes gefunden,
>
> Zu jeder Komplesxen Zahl [mm]w =\wurzel[n]{r*e^{\frac{\phi +2k \pi}{n}}}[/mm]
>
> [mm]=r^{\frac{1}{n}}* (\cos(\frac{\phi+k*2\pi}{n})+i\sin(\frac{\phi+k*2\pi}{n}))[/mm]
Stimmt nicht ganz: im Exponenten fehlt der Faktor $i$ und die e-Funktion unter der Wurzel ist [mm] $e^{i\phi}$:
[/mm]
[mm]w =\wurzel[n]{re^{i\phi}} = \wurzel[n]{r}*e^{i\frac{\phi +2k \pi}{n}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Damit kommst du doch schon weiter.
1. Definiert dies (mit $z=r*e^{i\phi}}$ und $F(z)=w$) einen Zweig der Wurzel [mm]\wurzel[n]{z}[/mm] ?
2. Wenn ja, wieviele verschiedene Möglichkeiten ergeben sich daraus?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Mo 30.05.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Vielen Dank für die Antwort :)
Zu.1
Ja das definiert einen Zweig, weil vermutlich [mm] $exp(\wurzel[n]{re^{i\phi}})= \wurzel[n]{z} [/mm] $ gilt.
Zu.2
Wieviel verschiedene ?
Hmmm
Ich geh davon aus , dass es n-1 verschiedene Möglichkeiten gibt,
Begründung (Periodizität )
Viele Grüße
Nadia
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Mo 30.05.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Vielen Dank für die Antwort :)
> Zu.1
>
> Ja das definiert einen Zweig, weil vermutlich
> [mm]exp(\wurzel[n]{re^{i\phi}})= \wurzel[n]{z}[/mm] gilt.
Ja, es definiert einen Zweig, aber die Begründung ist falsch. Du verwechselst das mit dem Logarithmus. Die Bedingung ist [mm] $((F(z))^n=z$, [/mm] und das ist der Fall, da [mm] $w^n=z$ [/mm] ist.
> Zu.2
>
> Wieviel verschiedene ?
> Hmmm
> Ich geh davon aus , dass es n-1 verschiedene
> Möglichkeiten gibt,
> Begründung (Periodizität )
Nein, es sind n verschiedene, z.B. [mm] $k=0,\dots,n-1$; [/mm] ich nehme an, du hast den Fall k=0 übersehen.
Und es gibt keine anderen Möglichkeiten als diese n Stück, denn wenn die komplexe Zahl w die Darstellung
[mm] w=s*e^{i\psi} [/mm]
hat (und die ist eindeutig, wenn [mm] $0\le \psi<2\pi$ [/mm] ist), dann hat [mm] $z=w^n$ [/mm] die Darstellung
[mm] z=w^n = s^n*e^{i n\psi} [/mm],
und durch Vergleich mit [mm] $z=r*e^{i\phi}$ [/mm] ergibt sich, dass es nur diese n Möglichkeiten gibt.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:32 Mo 30.05.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Danke Rainer , vielen Dank .
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