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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 So 26.08.2007 | | Autor: | Sierra |
Hallo zusammen,
meine Aufgabe befasst sich mit einer quadratischen Pyramide, die die Seitenlängen von 8m, sowie eine Höhe von 7m aufweist. Darin soll ein Zylinder eingebaut werden, natürlich so, dass das Volumen des Zylinders maximal wird...
Da das Volumen eines Zylinders durch V= pi * r² *h berechnet wird, scheint es mir mehr Sinn zu machen, auf einen größeren Radius setzen, bloß wie genau ich da rangehen kann weiß ich nicht... Jede Hilfe ist also erwünscht :)
Mit freundlichen Grüßen
Sierra
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> Hallo zusammen,
> meine Aufgabe befasst sich mit einer quadratischen
> Pyramide, die die Seitenlängen von 8m, sowie eine Höhe von
> 7m aufweist. Darin soll ein Zylinder eingebaut werden,
> natürlich so, dass das Volumen des Zylinders maximal
> wird...
> Da das Volumen eines Zylinders durch V= pi * r² *h
> berechnet wird,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Damit hast Du schon einmal die zu maximierende Zielfunktion [mm] $V(r,h)=\pi r^2 [/mm] h$ aufgestellt (wobei $r$=Zylinderradius, $h$=Zylinderhöhe).
Nun brauchst Du noch eine Nebenbedingung, die $r$ und $h$ zueinander (und zu den gegebenen Längen) in Beziehung setzt.
Um diese Nebenbedingung zu finden, musst Du schon eine ungefähre Vorstellung davon haben, wie (in welcher Stellung) der Zylinder mit maximalem Volumen in der Pyramide wohl zu liegen (oder besser: zu stehen) kommt: ich denke, er muss die Höhe der Pyramide als Achse haben.
Seine Grundfläche wird auf der Grundfläche der Pyramide stehen, das Zentrum seines Grundkreises also mit dem Mittelpunkt (Diagonalenschnittpunkt) der quadratischen Grundfläche zusammenfallen.
Und was beschränkt nun den Radius und / oder die Höhe des Zylinders? Wenn man sich vorstellt, dass diese beiden Grössen langsam grösser gemacht werden, dann wird der Zylinder schliesslich mit dem Rand seines Deckkreises die vier Seitenflächen der Pyramide (gleichzeitig) berühren. Also kann man in einem Schnitt durch die Höhe der Pyramide (=Achse des Zylinders) und die Höhe der Seitenfläche ein rechtwinkliges Dreieck sehen, auf das der Strahlensatz anwendbar ist:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 So 26.08.2007 | | Autor: | Sierra |
Hallo!
Vielen Dank für den Gedankengang bzw. für die schnelle Antwort überhaupt :) Auch vielen Dank für die Mühe mit der Grafik, jedoch stimmt die untere Seitenlänge von 4m nicht, da der Weg zum Mittelpunkt der Grundfläche ja nicht die Hälfte einer Seitenlänge entspricht. (Vielmehr entspricht es der Hälfte der Diagonale, also 5,656..)
Mit freundlichen Grüßen
Sierra
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 So 26.08.2007 | | Autor: | Somebody |
> Hallo!
> Vielen Dank für den Gedankengang bzw. für die schnelle
> Antwort überhaupt :) Auch vielen Dank für die Mühe mit der
> Grafik, jedoch stimmt die untere Seitenlänge von 4m nicht,
> da der Weg zum Mittelpunkt der Grundfläche ja nicht die
> Hälfte einer Seitenlänge entspricht. (Vielmehr entspricht
> es der Hälfte der Diagonale, also 5,656..)
Nein: dies ist nicht richtig. Denn der Deckkreis des Zylinders berührt die Seitenflächen der Pyramide nicht in den Seitenkanten der Pyramide sondern in einem Punkt der Seitenhöhe. Daher ist, meiner Meinung nach, meine Skizze durchaus richtig beschriftet.
Nachtrag (Plausibilitätsbetrachtung): Betrachte einmal den Extremfall eines Zylinders mit Höhe $h=0$. Der liegt ganz in der Grundfläche der Pyramide. Mache nun den Radius in Gedanken so gross, dass dieser "Zylinder" noch immer ganz in der Pyramide (effektiv der Grundfläche der Pyramide) enthalten ist, aber nicht mehr grösser gemacht werden kann. Wie gross ist dann der Radius $r$? - Ich denke er ist dann $4$ Meter (nicht [mm] $4\sqrt{2}$ [/mm] Meter).
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