a<b => a^n < b^n mit Axiomen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Folgern sie mit Pedanterie aus den Anordnungsaxiomen:
(a) seine a, b > 0 und n [mm] \ge [/mm] 1 eine Natürliche Zahl. Dann gilt genau dann a<b wenn [mm] a^{n} [/mm] < [mm] b^{n} [/mm] gilt.
(b) Sei 0 < a < 1 und seien n>m natürliche Zahlen. Dann gilt [mm] a^{n} [/mm] < [mm] a^{m} [/mm] |
Also ich habe gehört ein Übungsleiter soll den Tipp gegeben haben, dass mit Induktion zu machen.
Ich hab aber erstmal so angefangen gehabt:
a<b
O3 [mm] \Rightarrow [/mm] a+c < b+c
O4 [mm] \Rightarrow [/mm] a*(a+c) < a*(b+c)
D [mm] \Rightarrow [/mm] a²+a*c < a*b+a*c
O3 [mm] \Rightarrow [/mm] a² < a*b
O4 [mm] \Rightarrow [/mm] b*a² < b*(a*b)
M1+M2 [mm] \Rightarrow [/mm] a²*b < a*(b*b)
[mm] \Rightarrow [/mm] a²*b < a*b²
[mm] \Rightarrow [/mm] a²*a < a²*b < a*b² < b*b² (jeweils da gilt: a<b)
[mm] \Rightarrow [/mm] a³ < b³
und das kann man ja dann weiter führen bis [mm] a^{n} [/mm] < [mm] b^{n}
[/mm]
Meine erste Frage ist: kann ich das so Machen?
und die zweite Frage ist: wie zeige ich denn jetzt die andere Inklusion? oder Reicht das so?
Bzw. Falls es einfacher ist : wie geht das mit Induktionsverfahren^^
zu (b) hab ich leider noch keinen Ansatz... :(
Gruß
Arthur
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:45 Fr 04.11.2011 | | Autor: | Helbig |
> [mm]\Rightarrow[/mm] a²*b < a*b²
> [mm]\Rightarrow[/mm] a²*a < a²*b < a*b² < b*b² (jeweils da gilt: a<b)
Nach welchem Ordnungsaxiom folgt das jetzt?
> [mm]\Rightarrow[/mm] a³ < b³
>
> und das kann man ja dann weiter führen bis [mm]a^{n}[/mm] < [mm]b^{n}[/mm]
Dieses "kann man weiter führen" ist ein verkappter Induktionsbeweis. Aber damit folgt
hier nicht [mm] $a^2
[mm] $a^9 [/mm] < [mm] b^9$. [/mm] So geht es also nicht!
> und die zweite Frage ist: wie zeige ich denn jetzt die
> andere Inklusion? oder Reicht das so?
Nein.
> Bzw. Falls es einfacher ist : wie geht das mit
> Induktionsverfahren^^
Na ja, für $n=1$ mußt Du [mm] $a^1
Und jetzt der Induktionsschritt. Hier kannst Du [mm] $a^n
daraus [mm] $a^{(n+1)}
Die Umkehrung würde ich mit einem Widerspruchsbeweis führen.
Nimm also [mm] $a^n
Hierbei benutze das Ergebnis des ersten Teils.
>
> zu (b) hab ich leider noch keinen Ansatz... :(
Zeige [mm] $a^{(m+k)}
OK?
Wolfgang
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