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| Aufgabe | Sei M = [mm] \{m + n\wurzel{2} : m, n \in \IZ\}. [/mm] Zeigen Sie, dass die Menge
M mit der gewöhnlichen Addition + eine abelsche Gruppe bildet. |
Muss man da nun bloß noch zeigen, dass m + [mm] n\wurzel{2} [/mm] kommutativ ist oder muß man sämtliche Gruppeneigenschaften überprüfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Do 26.04.2007 | | Autor: | colly |
Du musst natürlich erstma überprüfen, ob deine Menge überhaupt eine Gruppe ist.
Wenn sie alle Gruppeneigenschaften erfüllt, weißt du, dass sie eine Gruppe ist, und dann kannst erst du überprüfen ob du eine Abelgruppe vorliegen hast.
Kann ja auch sein, dass deine Menge zwar kommutativ aber gar keine Gruppe ist...
Gruß Colly
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Alles klar, danke erstmal für die Hilfe.
Ich hab jetzt die Gruppeneigenschaften überprüft, hat auch kein größeres Problem dargestellt. Aber die Sache mit der Kommutativität, also zu zeigen dass es eine abelsche Gruppe ist krieg ich nicht hin. Wie fang ich da am besten an?
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> Ich hab jetzt die Gruppeneigenschaften überprüft, hat auch
> kein größeres Problem dargestellt. Aber die Sache mit der
> Kommutativität, also zu zeigen dass es eine abelsche Gruppe
> ist krieg ich nicht hin. Wie fang ich da am besten an?
Hallo,
es kommt darauf an, was Du zur Verfügung hast.
Wurdet Ihr schon darüber unterrichtet, daß die reellen Zahlen kommutativ bzgl. + sind? Mit solchen hast Du es ja zu tun.
[mm] a:=m+n\wurzel{2} [/mm] ist eine reelle Zahl und [mm] a':=m'+n'\wurzel{2} [/mm] auch.
Gruß v. Angela
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Ja, das hatten wir. Ich weiß aber nun nicht wie ich anfangen soll. Muss ich zeigen, dass gilt [mm] $m+n\wurzel{2} [/mm] = [mm] n\wurzel{2}+m$? [/mm] Oder heißt $ [mm] a':=m'+n'\wurzel{2} [/mm] $, dass ich irgendwie mit den Inversen rangehen soll?
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> Ja, das hatten wir. Ich weiß aber nun nicht wie ich
> anfangen soll. Muss ich zeigen, dass gilt [mm]m+n\wurzel{2} = n\wurzel{2}+m[/mm]?
> Oder heißt [mm]a':=m'+n'\wurzel{2} [/mm], dass ich irgendwie mit den
> Inversen rangehen soll?
Du mußt doch zeigen, daß für zwei beliebige Elemente a,b Deiner Menge gilt
a+b=b+a.
Seien a [mm] \in [/mm] M.
dann gibt es ganze Zahlen m,n,m',n' mit [mm] a=m+n\wurzel{2} [/mm] und [mm] b=m'+n'\wurzel{2}
[/mm]
Zeigen mußt Du nun, daß a+b=b+a ist, daß man die Elemente Deiner Menge bei der Addition vertauschen kann.
Gruß v. Angela
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Alles klar, da stand ich wohl auf dem Schlauch.
Vielen vielen dank für die prompte Hilfe!
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