absolut irreduzible Polynome < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 So 18.03.2012 | | Autor: | Imbecile |
| Aufgabe | | Das Polynom [mm] F(x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}) [/mm] mit rationalen Koeffizienten heißt absolut irreduzibel, wenn es über keinem Erweiterungskörper des rationalen Zahlenkörpers in nichttriviale Faktoren zerlegbar ist. |
Hallo!
Also, ich muss für ein Seminar aus Algebra ein Referat über einen Buchausschnitt halten. Das Buch nennt sich "Kongruenzen" und ich spreche über das Kapitel Trigonometrische Summen. Also eigentlich nur einen Teil davon, Kongruenzen und trigonometrische Summen. (2. Kapitel)
Ich habe das erste Kapitel gelesen und vollständig verstanden, mein Teil beginnt aber mit einer Definition, die mir leider nicht vollständig klar ist.
Im Prinzip, bedeutet absolut irreduzibel doch einfach nur, dass man es nicht mehr vereinfachen kann, oder?
Ich weiß was ein Erweiterungskörper ist, mein Problem liegt nun eher bei den Faktoren.
Nichttriviale Faktoren bedeutet doch, dass sie [mm] \not= [/mm] 0 sind, oder?
Wie kann ich mir denn so ein irreduzibles Polynom vorstellen?
Ich meine, in dem Buch wird hauptsächlich über Restklassenkörper mod p (p [mm] \in [/mm] Primzahlen) gesprochen. Die Definition wird weiter in einem Beweis verwendet, diesen kann ich jedoch nicht ganz folgen, da es schon bei der Definition hapert.
Kann mit bitte jemand Beispiele für absolut irreduzible Polynome nennen und auch dazu sagen, warum es welche sind. Oder eventuel für eines welches nicht irreduzibel ist und wie man dieses dann in nicht triviale Faktoren zerlegen kann.
Das wäre wirklich sehr nett!
Vielen Dank!
Mit freundlichen Grüßen,
Imbecile
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 So 18.03.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Imbecile!
> Das Polynom [mm]F(x_{1},[/mm] ..., [mm]x_{n})[/mm] mit rationalen
> Koeffizienten heißt absolut irreduzibel, wenn es über
> keinem Erweiterungskörper des rationalen Zahlenkörpers in
> nichttriviale Faktoren zerlegbar ist.
>
> Also, ich muss für ein Seminar aus Algebra ein Referat
> über einen Buchausschnitt halten. Das Buch nennt sich
> "Kongruenzen" und ich spreche über das Kapitel
> Trigonometrische Summen. Also eigentlich nur einen Teil
> davon, Kongruenzen und trigonometrische Summen. (2.
> Kapitel)
>
> Ich habe das erste Kapitel gelesen und vollständig
> verstanden, mein Teil beginnt aber mit einer Definition,
> die mir leider nicht vollständig klar ist.
> Im Prinzip, bedeutet absolut irreduzibel doch einfach nur,
> dass man es nicht mehr vereinfachen kann, oder?
Ja, und zwar auch nicht ueber algebraischen Koerpererweiterungen. (Sprich: auch nicht ueber dem alg. Abschluss.)
Zum Beispiel ist [mm] $X^2 [/mm] + 1$ ueber [mm] $\IQ$ [/mm] zwar irreduzibel, aber nicht absolut irreduzibel, da es ueber der algebraischen Erweiterung [mm] $\IQ(i)$ [/mm] von [mm] $\IQ$ [/mm] nicht irreduzibel ist. (Genauer: jedes Polynom von Grad $> 1$ in einer Unbestimmten kann niemals absolut irreduzibel sein.)
Ein Beispiel eines absolut irreduziblen Polynoms ist [mm] $X^3 [/mm] - [mm] Y^2$.
[/mm]
> Ich weiß was ein Erweiterungskörper ist, mein Problem
> liegt nun eher bei den Faktoren.
>
> Nichttriviale Faktoren bedeutet doch, dass sie [mm]\not=[/mm] 0
> sind, oder?
Ja, und auch nicht konstant. Du kannst immer z.B. $X + Y = 2 [mm] \cdot (\frac{1}{2} [/mm] X + [mm] \frac{1}{2} [/mm] Y)$ schreiben. Der Faktor 2 ist aber trivial.
> Wie kann ich mir denn so ein irreduzibles Polynom
> vorstellen?
> Ich meine, in dem Buch wird hauptsächlich über
> Restklassenkörper mod p (p [mm]\in[/mm] Primzahlen) gesprochen. Die
> Definition wird weiter in einem Beweis verwendet, diesen
> kann ich jedoch nicht ganz folgen, da es schon bei der
> Definition hapert.
>
> Kann mit bitte jemand Beispiele für absolut irreduzible
> Polynome nennen und auch dazu sagen, warum es welche sind.
Jedes Polynom vom Typ [mm] $X^3 [/mm] + a [mm] X^2 [/mm] + b X + c - [mm] Y^2 [/mm] - d X Y - e Y$ (mit $a, b, c, d, e$ fest gewaehlt, aber beliebig) ist absolut irreduzibel. Das kann man explizit nachrechnen (schreibe es als Produkt zweier Polynome und fuehre einen Widerspruch her), das ist jedoch etwas muehsam.
Polynome $f [mm] \in \IQ[X]$ [/mm] in einer Unbestimmten sind nur absolut irreduzibel, wenn sie Grad 1 haben: andernfalls sind sie entweder nichtmals irreduzibel (etwa [mm] $X^5$ [/mm] oder $(X + 1) (X + 2)$), oder sie sind ueber dem algebraiscen Erweiterungskoerper $K := [mm] \IQ[X]/(f)$ [/mm] nicht irreduzibel, da sie dort eine Nullstelle haben (naemlich die Restklasse von $X$ in $K$).
Ansonsten, falls dir der Begriff eines normalen irreduziblen Polynoms noch nicht bekannt ist, schau doch erstmal dort nach Beispielen. Hier im Forum sollte es viele geben und auch im Netz.
LG Felix
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