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| Aufgabe | Seien [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge in [mm]\IR[/mm].
(1) Zeigen Sie: Konvergiert [mm] \sum_{k=1}^{\infty} a_n[/mm] absolut, so konvergiert auch [mm] \sum_{k=1}^{\infty} a^2_n[/mm] absolut.
(2) Geben Sie ein gegenbeispiel dafür an, dass die Umkehrung von (1) falsch ist.
(3) Geben Sie ein Gegenbeispiel dafür an, dass (1) ohne die Bedingung "[mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] konvergiert absolut" falsch ist.
(4) Welche Zahl ist größer? [mm][mm] 1,0000000001^{10000000001} [/mm] oder 2? |
Hallo!
Habt ihr einen Tipp für mich? Bin leider ziemlich ratlos... habe mir zu (1) gedacht, dass man vll was mit Teilfolgen machen kann, aber das ist auch nur so ein Gedanke.
Zu (4) habe ich nachgerechnet, dass ersteres größer ist... aber wie beweise ich das?
Liebe Grüße, Fredi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Mi 20.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
i) [mm] |a_n| [/mm] ist Nullfolge, also ist ab einem N [mm] |a_k|<1 [/mm] für alle k>N und [mm] |a_{k}^{2}|<|a_k| [/mm] => Majorantenkriterium.
ii) Das Beispiel ist so bekannt, das du nur dein Ana-Buch aufschlagen musst.
iii) Schau dir eine unendliche Summe einer alternierenden Folge. Gibts auch im Ana-Buch. Kannst auch die Folge der Reihe aus ii) benutzen, aber mit alternierendem Vorzeichen.
iv) Hierzu fällt mir leider nix ein.
Gruß,
dormant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:11 Do 21.06.2007 | | Autor: | FrediBlume |
Hallo dormant,
Danke für deine ausführliche Antwort.
Was ich bei i) mit dem Majorantenkriterium machen soll weiß ich noch nicht so genau, werde mich bemühen, es herauszufinden.
Zu ii) und iii) werde ich mal nachschlagen.
Danke und LG, Fredi
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> (4) Welche Zahl ist größer? [mm][mm]1,0000000001^{10000000001}[/mm] oder 2?
Hallo,
das bekommst Du mit der Bernoulli-Ungleichung.
Gruß v. Angela
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