absolute Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:34 Mi 05.12.2007 | | Autor: | alpakas |
| Aufgabe | Sei [mm] (a_n) [/mm] eine reelle Folge. Für neN definieren wir:
[mm] a^{+}_n:= [/mm] max [mm] (a_n,0) [/mm] und [mm] a^{-}_n:=max (-a_n,0)
[/mm]
Zeigen sie, dass die Reihe [mm] \summe a_n [/mm] ist genau dann absolut konvergent, wenn die Reihen [mm] \summe a^{+}_n [/mm] und [mm] \summe a^{-}_n [/mm] konvergieren.
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Bitte helft mir weiter!!! Ich komme nicht weiter und kriege die Lösung nicht hin. Könnt ihr mir helfen wwie genau man das zeigt??
liebe Grüße, Steffi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Blech |
> Sei [mm](a_n)[/mm] eine reelle Folge. Für neN definieren wir:
>
> [mm]a^{+}_n:=[/mm] max [mm](a_n,0)[/mm] und [mm]a^{-}_n:=max (-a_n,0)[/mm]
>
Damit gilt [mm] $a_n [/mm] =a^+_n - a^-_n$ und somit auch [mm] $|a_n|=a^+_n [/mm] + a^-_n$
(je nachdem, ob Ihr das schon gemacht habt, oder ob Euer Korrektor pingelig ist, mußt Du das noch "beweisen")
> Zeigen sie, dass die Reihe [mm]\summe a_n[/mm] ist genau dann
> absolut konvergent, wenn die Reihen [mm]\summe a^{+}_n[/mm] und
> [mm]\summe a^{-}_n[/mm] konvergieren.
>
Die Reihe ist absolut konvergent, wenn [mm] $\sum_{n=0}^\infty |a_n| <\infty$, [/mm] jetzt setzt Du da $a^+$ und $a^-$ von oben ein und begründest, warum Du die Summe in zwei aufteilen darfst und warum die beiden Summen dann auch konvergent sein müssen.
Die Rückrichtung geht genauso.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 Do 06.12.2007 | | Autor: | Blech |
> Vielen dank!!! Ich hab es sogar verstanden!!!! 
>
> ich weiß bloß nicht wie man begründen kann, dass man die
> Summen aufteilen kann
"Aufteilen" heißt hier, daß Du die Summenglieder umstellen mußt.
Du hast [mm] $\sum_i a_i^++a_i^- [/mm] = [mm] (a_0^+ [/mm] + [mm] a_0^-) [/mm] + [mm] (a_1^+ [/mm] + [mm] a_1^-) [/mm] + [mm] (a_2^+ [/mm] + [mm] a_2^-) [/mm] + [mm] \dots$
[/mm]
und willst $ [mm] \sum_i a_i^+ [/mm] + [mm] \sum_i a_i^- [/mm] = [mm] (a_0^+ [/mm] + [mm] a_1^+ [/mm] + [mm] a_2^++ \dots [/mm] )+ [mm] (a_0^- [/mm] + [mm] a_1^- [/mm] + [mm] a_2^- [/mm] + [mm] \dots)$
[/mm]
Die Summenzeichen sind ja nur eine Kurzschreibweise.
Für alles andere verweise ich auf Dein Skript. =)
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