abstrakte Basisbestimmung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 So 28.11.2004 | | Autor: | junkx |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo, hier meine frage:
In einem R-Vektorraum V sei eine Basis a,b,c gegeben. Es ist festzustellen ob a+b, b+c, c+a eine Basis von V bilden.
zweite teilaufgabe war die frage ob folgende vektoren eine basis von C³ bilden: (1+i, 0, 3+3i), (-1+2i, 2i, 3) und (1+2i, 2i, 3). für diese aufgabe habe ich den gauß-algorithmus angewendet:
1+i 0 3+3i
-1+2i 2i 3
1+2i 2i 3
--------------------
...
und bin auf reduzierte zeilenstufenform gekommen (ohne nullzeilen). bedeutet das die 3 vektoren sind basis?
und wie könnte ich die erste teilaufgabe angehen? es ist ja alles so abstrakt!
danke im vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 So 28.11.2004 | | Autor: | andreas |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> hallo, hier meine frage:
>
> In einem R-Vektorraum V sei eine Basis a,b,c gegeben. Es
> ist festzustellen ob a+b, b+c, c+a eine Basis von V
> bilden.
>
> zweite teilaufgabe war die frage ob folgende vektoren eine
> basis von C³ bilden: (1+i, 0, 3+3i), (-1+2i, 2i, 3) und
> (1+2i, 2i, 3). für diese aufgabe habe ich den
> gauß-algorithmus angewendet:
>
> 1+i 0 3+3i
> -1+2i 2i 3
> 1+2i 2i 3
> --------------------
> ...
> und bin auf reduzierte zeilenstufenform gekommen (ohne
> nullzeilen). bedeutet das die 3 vektoren sind basis?
sofern du dich nicht verrechnet hast schon.
> und wie könnte ich die erste teilaufgabe angehen? es ist
> ja alles so abstrakt!
mach mal den ansatz [m] \lambda(\textbf{a}+\textbf{b}) + \mu(\textbf{b}+\textbf{c}) + \nu(\textbf{c}+\textbf{a}) = \textbf{0} \; \Longleftrightarrow \; (\lambda + \nu)\textbf{a} + (\lambda+\nu)\textbf{b} + (\mu+\nu)\textbf{c} = \textbf{0} [/m] über die koeffizienten in der letzten gleichung kannst du nun was aussagen, da [m] \textbf{a}, \textbf{b}, \textbf{c} [/m] linear unabhängig. probiere daraus was für [m] \lambda, \mu, \nu [/m] zu folgern!
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:43 So 28.11.2004 | | Autor: | junkx |
es ist doch:
[mm] \lambda(a+b)+ \mu(b+c)+ \nu(c+a)=0 \gdw( \lambda+ \nu)a+( \lambda+ \mu)b+( \mu+ \nu)c=0
[/mm]
falls a+b, b+c und c+a basis sind. d.h. [mm] \lambda+ \nu [/mm] = [mm] \lambda+ \mu [/mm] = [mm] \mu+ \nu [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \lambda [/mm] = [mm] \mu [/mm] = [mm] \nu [/mm] = 0
aber reicht das als beweis?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:10 Sa 04.12.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo junkx!
> es ist doch:
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> [mm]\lambda(a+b)+ \mu(b+c)+ \nu(c+a)=0 \gdw( \lambda+ \nu)a+( \lambda+ \mu)b+( \mu+ \nu)c=0
[/mm]
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> falls a+b, b+c und c+a basis sind. d.h. [mm]\lambda+ \nu[/mm] =
> [mm]\lambda+ \mu[/mm] = [mm]\mu+ \nu[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow \lambda[/mm] = [mm]\mu[/mm] =
> [mm]\nu[/mm] = 0
>
> aber reicht das als beweis?
Ja, das reicht.
Du hast gezeigt, dass die einzige Linearkombination des Nullvektors aus den drei Vektoren a+b, b+c, c+a die triviale Linearkombination (alle Koeffizienten =0) ist. Das ist gerade die Defintion von linear unabhängig.
Viele Grüße,
Marc
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