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| Aufgabe | | Was sind Äquivalenzen, Äquivalenzrelationen, Äquivalenzklassen? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Was ist der Unterschied zwische Äquivalenz und Äquivalenzrelation?
Eine Äquivalenz bedeutet, dachte ich, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt, nämlich um eine Relation mit den eigenschaften (refl, + transitiv + symmetrie.).
zb. Menge M = {a,b,c}
Dann gibt es aber mehrere Äquivalenzrelationen hierfür , z.b.
R1 = {(a,a),(b,b),(c,c)}
oder
R2 = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)}
usw.
Und unter einer Äquivalenzklasse hätte ich verstanden, dass es die Menge aller Elemente ist, die mit dem jew. ELement in Relation steht.
Z.b. Äquivalenzklasse
[a] von R1= {a}
[b] von R1 = {b}
[c] von R1 = {c}
[a] von R2 = {a,b}
[b] von R2 = {b,a}
wobei ich dachte, dass zwei verschiedene Äquivalenzklassen zueinander disjunkt sind. Aber [a] und [b] sind sogar gleich. =/
Und wie bilde ich Äquivalenzklassen im Allgemeinen Sinne?
Z.b.:
R = {(a,b); a,b in N und (a+b gerade)}.
Dann wird einer geraden Zahl eine gerade zugeordnet und einer ungeraden einer ungeraden. Dann sind die Klassen aber unendlich groß:
[0] = {0,2,4,6...}
[1] = {1,3,5,7,9,...}
[2] = {0,2,4,6,8...}
[3] = {1,3,5,7,9}
usw. usf.
Wie stellt man solche Äquivalenzklassen darf? Und wie lautet dann die "Äquivalenzklasseneinteilung" ?!
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Hallo,
unter einer Äquivalenz verstehe ich einen logischen Zusammenhang, bei dem zwei (unterschiedlich formulierten) Aussagen die gleiche Bedeutung zukommt. Wenn eine ganze Zahl bspw. durch 2 und durch 3 teilbar ist, dann ist das gleichbedeutend (äquivalent wörtrlich übersetzt bedeutet gleichwertig) damit, dass sie durch 6 teilbar ist. Eine Äquivalenz ist es deshalb, weil es in beide Richtungen funktioniert.
![[]](/images/popup.gif) Wikipedia verwendet allerdings den Begriff auch im Zusammenhang von bestimmten Äquivalenzrelationen auf bestimmten Klassen von Matrizen, also in der Linearen Algebra. Das ist mir allerdings auch neu (wobei das nichts heißen muss, ich bin hier der Hobby-Mathematiker  ).
Das mit den Äquivalenzklassen hast du für meine Begriffe richtig verstanden, Äquivalenzrelationen sollten dann auch klar sein.
Gruß, Diophant
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Vielen Dank,
und wie nehme ich eine Äquivalenzklasseneinteilung vor, wenn ich solch einen allgemeineren Fall habe?
R = {(a,b); a,b in N und (a+b gerade)}.
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> Vielen Dank,
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> und wie nehme ich eine Äquivalenzklasseneinteilung vor,
> wenn ich solch einen allgemeineren Fall habe?
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> R = {(a,b); a,b in N und (a+b gerade)}.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Das hattest Du zuvor richtig gemacht.
Wenn Du nochmal auf das schaust, was Du zuvor geschrieben hast, stellst Du fest, daß es für diese Relation nur zwei Äquivalenzklassen gibt, nämlich [mm] [0]_R, [/mm] die geraden Zahlen und [mm] [1]_R, [/mm] die ungeraden Zahlen.
Jedes Element von [mm] \IN [/mm] liegt in einer dieser Klassen, der Schnitt ist leer, und die Vereinigung ergibt ganz [mm] \IN.
[/mm]
LG Angela
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Hallo Angela (und vielen Dank für den lieben Willkommensgruß)
Ich freue mich, etwas richtig gemacht zu haben. Scheint ein kleiner Lichtblick in der Verzweiflung zu sein. :)
Dennoch noch eine Frage dazu:
Wie notiert man dies nun mathematisch korrekt? Reicht es folgendermaßen?:
Auftrag/Frage: Gib die Klasseneinteilung an.
Antwort/Lösung: Es existiert eine Klasse mit den ungeraden Zahlen und eine Klasse mit den geraden Zahlen?
Analog dazu gibt es eine ähnliche Aufgabe des Typs:
R = [mm] \{(a,b); a,b \in Z \wedge (a^2 - b^2 durch 3 teilbar)\}
[/mm]
In der Menge R liegen also verschiedene geordnete Paare nach dem Schema (a,b). Man könnte also vermuten, dass
R = {(a,b),(c,d),(a,a),(a,d),(a,z)} oder so ähnlich mit a,b,c,d,z [mm] \in [/mm] Z.
Die Klasseneinteilung funktioniert dann so, dass ich sagen muss, welchem geordneten paar (x,y) welches andere geordnete Paar zugeordnet ist (d.h.: äquivalent zu ihm ist) ?
In R liegt zum Beispiel (1,2), denn 1 - 4 = -3
ist durch 3 tb.
In R liegen z.b. auch (2,1), (3,6), (6,3), alle reflexiven Paare usw. (daher ist dann R auch eine Äquivalenzrelation).
Nur welches geordnete Paar wird nun z.b. (2,1) zugeordnet? Eigentlich jedes andere aus der Menge, oder nicht?
D.h. die einzige Äquivalenzklasse [(a,b)] ist die, die [mm] a^2 [/mm] - [mm] b^2 [/mm] durch 3tb erfüllt, was für alle (a+b) bzw. (a-b) durch 3tb erfüllt sein dürfte.
Vielen lieben Dank!
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> Hallo Angela (und vielen Dank für den lieben
> Willkommensgruß)
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> Ich freue mich, etwas richtig gemacht zu haben. Scheint ein
> kleiner Lichtblick in der Verzweiflung zu sein. :)
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> Dennoch noch eine Frage dazu:
> Wie notiert man dies nun mathematisch korrekt? Reicht es
> folgendermaßen?:
>
> Auftrag/Frage: Gib die Klasseneinteilung an.
> Antwort/Lösung: Es existiert eine Klasse mit den
> ungeraden Zahlen und eine Klasse mit den geraden Zahlen?
Hallo,
das reicht nicht. Du mußt noch zeigen, daß das wirklich eine Klasseneinteilung ist.
Beh.: [mm] K:=\{ [0]_R, [1]_R\} [/mm] ist eine Klasseneinteilung von [mm] \IN [/mm] bzgl der Relation R.
Bew: schlag nach, wie Ihr "Klasseneinteilung" definiert habt, und zeig', daß alle Punkte erfüllt sind.
>
>
> Analog dazu gibt es eine ähnliche Aufgabe des Typs:
>
> R = [mm]\{(a,b); a,b \in Z \wedge (a^2 - b^2 durch 3 teilbar)\}[/mm]
>
> In der Menge R liegen also verschiedene geordnete Paare
> nach dem Schema (a,b). Man könnte also vermuten, dass
> R = {(a,b),(c,d),(a,a),(a,d),(a,z)} oder so ähnlich mit
> a,b,c,d,z [mm]\in[/mm] Z.
Die Menge ist natürlich nicht endlich.
>
> Die Klasseneinteilung funktioniert dann so, dass ich sagen
> muss, welchem geordneten paar (x,y) welches andere
> geordnete Paar zugeordnet ist (d.h.: äquivalent zu ihm
> ist) ?
Nein.
In [mm] [0]_R [/mm] sind all die ganzen Zahlen x, die in Relation zu 0 stehen, für die also gilt [mm] x^2-0^2 [/mm] ist tb durch 3,
oder anders ausgedrückt die x, für welche das Paar [mm] (0,x)\in [/mm] R ist.
Also
[mm] [0]_R=\{..., -6,-3,0, 3, 6, ...\}.
[/mm]
In [mm] [1]_R [/mm] sind entsprechend die ganzen Zahlen, die in Relation zu 1 stehen,
[mm] [1]_R=\{...,-5, -4, -2, ??? ??? ??? ???}
[/mm]
[mm] [2]_R= [/mm] ...
[mm] [3]_R=...
[/mm]
[mm] [-1]_R= [/mm] ...
[mm] [-2]_R= [/mm] ...
[mm] \vdots
[/mm]
>
> In R liegt zum Beispiel (1,2), denn 1 - 4 = -3
> ist durch 3 tb.
Ja.
> In R liegen z.b. auch (2,1), (3,6), (6,3),
> alle reflexiven Paare Paare mit gleichen Einträgen
> usw. (daher ist dann R auch eine
> Äquivalenzrelation).
Ja.
Mußt Du aber natürlich beweisen.
> Nur welches geordnete Paar wird nun z.b. (2,1) zugeordnet?
Für die Äquivalenzklassen? Gar keins. S.o.
LG Angela
> Eigentlich jedes andere aus der Menge, oder nicht?
>
> D.h. die einzige Äquivalenzklasse [(a,b)] ist die, die [mm]a^2[/mm]
> - [mm]b^2[/mm] durch 3tb erfüllt, was für alle (a+b) bzw. (a-b)
> durch 3tb erfüllt sein dürfte.
>
>
> Vielen lieben Dank!
>
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