Äquivalenzbeweis für Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 23:33 Sa 15.05.2010 | | Autor: | ironman-1 |
| Aufgabe | Es seien M und N zwei Mengen und f : M → N eine Abbildung.
Beweisen Sie die ¨Aquivalenz der folgenden beiden Aussagen.
(1) f ist bijektiv.
(2) Es gibt Abbildungen g : N → M und h : N → M mit f ◦ g = idN und h ◦ f = idM. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Warum idN und idM. Das ergibt keinen Sinn.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:45 Sa 15.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es seien M und N zwei Mengen und f : M → N eine
> Abbildung.
> Beweisen Sie die ¨Aquivalenz der folgenden beiden
> Aussagen.
> (1) f ist bijektiv.
> (2) Es gibt Abbildungen g : N → M und h : N → M mit f
> ◦ g = idN und h ◦ f = idM.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Warum idN und idM. Das ergibt keinen Sinn.
doch:
$f [mm] \circ [/mm] g$ ist eine Abbildung $N [mm] \to [/mm] N$, und [mm] $id_N$ [/mm] ist die Abbildung:
[mm] $$id_N: [/mm] N [mm] \to N\;\;\text{ mit }g(n):=n\;\;\;(n \in N)\,.$$
[/mm]
Analog für [mm] $id_M$ [/mm] (beachte: $h [mm] \circ [/mm] f: M [mm] \to [/mm] M$).
Beste Grüße,
Marcel
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ok.
wie soll ich 2 -> 1 zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 So 16.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ok.
> wie soll ich 2 -> 1 zeigen?
Vorausgesetzt wird hier:
Es gibt Abbildungen $g : N [mm] \to [/mm] M$ und $h : N [mm] \to [/mm] M$ mit $f [mm] \circ [/mm] g = [mm] id_N$ [/mm] und $h [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_M$.
[/mm]
Zu zeigen ist nun, dass [mm] $f\,$ [/mm] bijektiv, also sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
Ich mache mal den Anfang für die Injektivität:
Es gelte [mm] $\blue{f(x)=f(y)}$ [/mm] für $x,y [mm] \in M\,.$ [/mm] Zu zeigen ist nun, dass dann [mm] $x=y\,$ [/mm] gelten muss.
Dazu berechne mal [mm] $h(\blue{f(x)})$ [/mm] und [mm] $h(\blue{f(y)})$ [/mm] unter Beachtung von $h [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_M$ [/mm] und beachte zudem, dass wegen [mm] $\blue{f(x)=f(y)}$ [/mm] auch [mm] $h(f(x))=h(f(y))\,$ [/mm] gelten muss. Dann sollte das gewünschte sehr schnell da stehen.
Und zur Surjektivität versuchst Du bitte zunächst mal selbst, einen Anfang zu finden.
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:45 So 16.05.2010 | | Autor: | ironman-1 |
hallo
Surjektivität: Sei [mm] y\inN
[/mm]
g(y)=x mit [mm] x\inM
[/mm]
f(g(x))=f(x)=y
Fazit: Jedes y in N hat einen Partner in M
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:57 So 16.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallo
>
> Surjektivität: Sei [mm]y\inN[/mm]
$$y [mm] \in [/mm] N$$
s.u.
>
> g(y)=x mit [mm]x\inM[/mm]
Achte bitte darauf, das, was Du getippt hast, auch in der Vorschau nochmal anzugucken.
$$x [mm] \in [/mm] M$$
sollte dann oben erscheinen, wenn Du Leerzeichen an entsprechenden Stellen einfügst.
> f(g(x))=f(x)=y
> Fazit: Jedes y in N hat einen Partner in M
Das sind so einfach nur Brocken (böse Zungen würden von unzusammenhängenden Brocken sprechen). Kannst Du das nicht ein wenig deutlicher formulieren, was Du meinst? Mir ist das durchaus klar (und es ist auch von der Logik her korrekt), wie das zu lesen ist, aber auch in der Mathematik schadet die Verwendung von ganzen Sätzen nicht. 
Hier geht das so:
Zu zeigen (wenn (2) gilt): [mm] $f\,$ [/mm] ist surjektiv, d.h. zu jedem $y [mm] \in [/mm] N$ existiert (mindestens ein) $x [mm] \in [/mm] M$ mit [mm] $f(x)=y\,.$
[/mm]
Sei also $y [mm] \in N\,.$ [/mm] Wegen $f [mm] \circ g=id_N$ [/mm] gilt dann $(f [mm] \circ g)(y)=f(g(y))=y\,.$ [/mm]
(Du hast oben z.B. gar nicht gesagt, wie Du zu [mm] $f(g(x))=f(x)=y\,$ [/mm] gelangst. Man sollte so etwas durchaus auch mal (kurz) erwähnen.)
Definieren wir also [mm] $x:=g(y)\,,$ [/mm] so gilt, weil [mm] $g\,$ [/mm] eine Abbildung $N [mm] \to [/mm] M$ ist und wegen $y [mm] \in N\,,$ [/mm] dass [mm] $x\,$ [/mm] wohldefiniert und $x=g(y) [mm] \in [/mm] M$ ist.
Zusammenfassend:
Für $y [mm] \in [/mm] N$ ist mit $x:=g(y)$ dann $x [mm] \in [/mm] M$ mit $f(x)=f(g(y))=y$ gefunden.
So in etwa sollte Dein Beweis zur Surjektivität aussehen.
Fazit: Deine Gedankengänge scheinen mir durchaus korrekt, aber Du solltest das ganze auch so notieren, dass man nicht raten muss, was Du meinst. Das heißt, es sollte so notiert werden, dass man Deine Gedankengänge auch lückenlos nachvollziehen kann. Und das geht notfalls halt durch ergänzende Sätze.
So, und nun brauchst Du nur noch den Beweis zu (1) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] (2).
Beste Grüße,
Marcel
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