Äquivalenzrelation, trivial < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:17 Mi 17.12.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Es bezeichne [mm] $\mathcal{M}$ [/mm] die Menge der reellwertigen Folgen [mm] $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$, [/mm] so dass an [mm] $a_n\neq [/mm] 0$ für alle bis auf endlich
viele $n$. Weiterhin schreiben wir [mm] $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}\sim(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] für [mm] $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] und [mm] $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] aus [mm] $\mathcal{M}$, [/mm] falls
[mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1$.
[/mm]
(I) Zeigen Sie, dass [mm] $\sim$ [/mm] eine Äquivalenzrelation auf [mm] $\mathcal{M}$ [/mm] definiert.
(II) Zeigen Sie die folgende Produktregel. Gilt [mm] $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}\sim(a'_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] und [mm] $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}\sim(b'_n)_{n\in\mathbb{N}}$, [/mm] so gilt
auch [mm] $(a_nb_n)_{n\in\mathbb{N}}\sim(a'_nb'_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] |
Hi,
ich wollte fragen ob ich diese Aufgabe, welche mir ziemlich trivial vorkommt, richtig gelöst habe.
Ich schreibe anstelle von [mm] $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] im Folgenden [mm] $(a_n)$
[/mm]
1. Reflexivität:
[mm] $(a_n)\sim(a_n)$
[/mm]
[mm] $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_n}=1$ [/mm] ist trivialerweise erfüllt.
2. Symmetrie:
Sei [mm] $(a_n)\sim(b_n)$. [/mm] Zu zeigen: [mm] $(b_n)\sim(a_n)$
[/mm]
Wegen [mm] $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=1$ [/mm] sind [mm] $(a_n), (b_n)$ [/mm] entweder divergent oder konvergent. Im Falle der Konvergenz stimmen die Grenzwerte der Folgen überein, nach den Grenzwertsätzen.
Im Falle von bestimmter divergenz ist [mm] $(a_n)=(b_n)$ [/mm] für alle [mm] $n\in\mathbb{N}$. [/mm]
Also:
[mm] $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=1\Rightarrow (b_n)\sim(a_n)$
[/mm]
3. Transitivität:
Sei [mm] $(a_n)\sim(b_n)$ [/mm] und [mm] $(b_n)\sim(c_n)$
[/mm]
Zeige:
[mm] $(a_n)\sim(c_n)$
[/mm]
Analog zur Symmetrie gilt [mm] $(b_n)=(c_n)$ [/mm] für alle [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] oder [mm] $\lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty} c_n$
[/mm]
Somit:
[mm] $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{c_n}=1\Rightarrow (a_n)\sim(c_n)$
[/mm]
Natürlich ist [mm] $(a_n)$ [/mm] genau dann konvergent/divergent wenn [mm] $(b_n)$ [/mm] konvergiert/divergiert.
Reicht das so?
II)
Das folgt direkt aus den Grenzwersätzen. Ich habe zwei konvergente Folgen, die kann ich multiplizieren, und der Grenzwert bleibt 1. Damit folgt direkt
[mm] $(a_na'_n)\sim [/mm] (b_nb'_n)$
Ich kann den Rechenweg nochmal explizit hinschreiben, wenn gewünscht.
Vielen Dank fürs drüber gucken.
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:10 Mi 17.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Es bezeichne [mm]\mathcal{M}[/mm] die Menge der reellwertigen Folgen
> [mm](a_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm], so dass an [mm]a_n\neq 0[/mm] für alle bis
> auf endlich
> viele [mm]n[/mm]. Weiterhin schreiben wir
> [mm](a_n)_{n\in\mathbb{N}}\sim(b_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] für
> [mm](a_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] und [mm](b_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] aus
> [mm]\mathcal{M}[/mm], falls
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1[/mm].
>
> (I) Zeigen Sie, dass [mm]\sim[/mm] eine Äquivalenzrelation auf
> [mm]\mathcal{M}[/mm] definiert.
> (II) Zeigen Sie die folgende Produktregel. Gilt
> [mm](a_n)_{n\in\mathbb{N}}\sim(a'_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] und
> [mm](b_n)_{n\in\mathbb{N}}\sim(b'_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm], so gilt
> auch
> [mm](a_nb_n)_{n\in\mathbb{N}}\sim(a'_nb'_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm]
> Hi,
>
> ich wollte fragen ob ich diese Aufgabe, welche mir ziemlich
> trivial vorkommt, richtig gelöst habe.
>
> Ich schreibe anstelle von [mm](a_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm] im
> Folgenden [mm](a_n)[/mm]
>
> 1. Reflexivität:
>
> [mm](a_n)\sim(a_n)[/mm]
>
> [mm]\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a_n}=1[/mm] ist trivialerweise
> erfüllt.
>
> 2. Symmetrie:
>
> Sei [mm](a_n)\sim(b_n)[/mm]. Zu zeigen: [mm](b_n)\sim(a_n)[/mm]
>
> Wegen [mm]\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=1[/mm] sind [mm](a_n), (b_n)[/mm]
> entweder divergent oder konvergent. Im Falle der Konvergenz
> stimmen die Grenzwerte der Folgen überein, nach den
> Grenzwertsätzen.
> Im Falle von bestimmter divergenz ist [mm](a_n)=(b_n)[/mm] für alle
> [mm]n\in\mathbb{N}[/mm].
Das ist doch Unsinn !
Aus [mm]\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=1[/mm] folgt doch sofort
[mm]\lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{a_n}=1[/mm] .
>
> Also:
>
> [mm]\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=1\Rightarrow (b_n)\sim(a_n)[/mm]
>
> 3. Transitivität:
>
> Sei [mm](a_n)\sim(b_n)[/mm] und [mm](b_n)\sim(c_n)[/mm]
>
> Zeige:
>
> [mm](a_n)\sim(c_n)[/mm]
>
> Analog zur Symmetrie gilt [mm](b_n)=(c_n)[/mm] für alle
> [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] oder [mm]\lim_{n\to\infty} b_n=\lim_{n\to\infty} c_n[/mm]
Auch das ist Unfug.
Aus [mm]\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=1[/mm] und [mm]\lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{c_n}=1[/mm] folgt
[mm] \frac{a_n}{c_n}= \frac{a_n}{b_n}* \frac{b_n}{c_n} \to [/mm] 1.
>
> Somit:
>
> [mm]\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{c_n}=1\Rightarrow (a_n)\sim(c_n)[/mm]
>
> Natürlich ist [mm](a_n)[/mm] genau dann konvergent/divergent wenn
> [mm](b_n)[/mm] konvergiert/divergiert.
>
> Reicht das so?
>
> II)
>
> Das folgt direkt aus den Grenzwersätzen. Ich habe zwei
> konvergente Folgen, die kann ich multiplizieren, und der
> Grenzwert bleibt 1. Damit folgt direkt
>
> [mm](a_na'_n)\sim (b_nb'_n)[/mm]
>
> Ich kann den Rechenweg nochmal explizit hinschreiben, wenn
> gewünscht.
Das wäre nicht schlecht, denn obien hast Du einiges an Unsinn verzapft,
FRED
>
> Vielen Dank fürs drüber gucken.
>
> mfg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Mi 17.12.2014 | | Autor: | YuSul |
Dann war der erste Teil der Aufgabe ja noch einfacher als gedacht...
Du hast natürlich recht, dass das quatsch war.
Zum zweiten Teil:
Es ist [mm] $(a_n)\sim(a'_n)$ [/mm] und [mm] $(b_n)\sim(b'_n)$, [/mm] also
[mm] $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a'_n}=1$ [/mm] und
[mm] $\lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{b'_n}=1$
[/mm]
Also sind die entsprechenden Folgen konvergent und nach den Grenzwertsätzen ist
[mm] $\lim_{n\to\infty} \frac{a_nb_n}{a'_nb'_n}=1$
[/mm]
Also [mm] $(a_nb_n)\sim(a'_nb'_n)$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Mi 17.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Dann war der erste Teil der Aufgabe ja noch einfacher als
> gedacht...
> Du hast natürlich recht, dass das quatsch war.
>
> Zum zweiten Teil:
>
> Es ist [mm](a_n)\sim(a'_n)[/mm] und [mm](b_n)\sim(b'_n)[/mm], also
>
> [mm]\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{a'_n}=1[/mm] und
>
> [mm]\lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{b'_n}=1[/mm]
>
> Also sind die entsprechenden Folgen konvergent und nach den
> Grenzwertsätzen ist
Hä ? welche Folgen meinst Du ?
Keine der 4 Folgen [mm] $(a_n), [/mm] (a'_n) , [mm] (b_n) [/mm] $ und $(b'_n)$ muss konvergieren !
Hehmen wir z.B. wir [mm] a_n=a_n'=sin(e^n) [/mm] und [mm] b_n=b_n'= e^{cos(ln(n))}
[/mm]
>
> [mm]\lim_{n\to\infty} \frac{a_nb_n}{a'_nb'_n}=1[/mm]
>
> Also [mm](a_nb_n)\sim(a'_nb'_n)[/mm]
O.K.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Mi 17.12.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich meinte das so, wenn ich
[mm] $\frac{a_n}{b_n}=:c_n$ [/mm] als neue Folge definiere, dann ist diese offensichtlich konvergent mit Grenzwert 1. Also funktionieren die Grenzwertsätze.
Hätte ich dazuschreiben sollen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Mi 17.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich meinte das so, wenn ich
>
> [mm]\frac{a_n}{b_n}=:c_n[/mm] als neue Folge definiere, dann ist
> diese offensichtlich konvergent mit Grenzwert 1. Also
> funktionieren die Grenzwertsätze.
O.K.
FRED
>
> Hätte ich dazuschreiben sollen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 Mi 17.12.2014 | | Autor: | YuSul |
Vielen Dank.
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