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Äußere Maß: Tipp, Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:05 Mi 20.05.2020
Autor: TS85

Aufgabe
Sei (X,d) ein metrischer Raum, [mm] \mathcal{A} \subset \mathcal{P}(X) [/mm] eine Algebra und [mm] \mu [/mm] : [mm] \mathcal{A} \to [0,\infty) [/mm] eine additive Funktion. Für [mm] \delta [/mm] > 0 werden auf [mm] \mathcal{P}(X) [/mm] die äußeren Maße [mm] \mu_\delta^\* [/mm] gemäß

[mm] \mu_\delta^\*(A)=inf\{\summe_{k=1}^{\infty}\mu(A_k): A_k \in \mathcal{A},diam(A_k)\leq \delta, A\subset \bigcup_{k}^{}A_k\} [/mm]

betrachtet,
wobei [mm] diam(A_k):=sup\{d(x,y): x,y \in A_k\} [/mm] und [mm] inf(\emptyset):= \infty [/mm]



a) z.z.: [mm] \mu^{\*}:=sup_{\delta >0}\mu_\delta^\* [/mm] ist metrisches äußeres Maß.
b) Jedes einzelne [mm] \mu_\delta^\* [/mm]  schon metrisch?


Hallo,

zu a)
1) [mm] \mu^\*=sup [/mm] 0=0, da [mm] \mu_\delta^\*(\emptyset)=0 [/mm]
Außerdem Nichtnegativität klar, da [mm] \mu [/mm] additive Funktion [mm] \mathcal{A}\to [0,\infty). [/mm]

2) Monotonie:
Sei [mm] A\subset [/mm] B [mm] \subset [/mm] X:
[mm] \{\summe_{k=1}^{\infty}\mu(A_k): A_k \in \mathcal{A},diam(A_k)\leq \delta, A\subset \bigcup_{k}^{}A_k\} \supset \{\summe_{k=1}^{\infty}\mu(A_k): A_k \in \mathcal{A},diam(A_k)\leq \delta, B\subset \bigcup_{k}^{}A_k\}, [/mm] d.h. die erste Menge liefert eine bessere Überdeckung.

[mm] \Rightarrow \mu_\delta^\*(A)=\underbrace{sup_{\delta>0}}_{=lim_{\delta \to 0}}{inf \{\summe_{k=1}^{\infty}\mu(A_k): A_k \in \mathcal{A},diam(A_k)\leq \delta, A\subset \bigcup_{k}^{}A_k\}}\leq sup_{\delta>0} inf\{\summe_{k=1}^{\infty}\mu(A_k): A_k \in \mathcal{A},diam(A_k)\leq \delta, B\subset \bigcup_{k}^{}A_k\} =\mu_\delta^\*(B) [/mm]

(Anmerkung Grenzwert müsste verwendbar sein, da es das gleiche Ergebniss ergibt, da [mm] \mu_{\delta}^\* [/mm] zunimmt, wenn [mm] \delta [/mm] abnimmt.
Zwischenfrage: Ich bin leicht verwirrt von dieser neuen Art der Überdeckung. Was genau bewirkt ein größerer/kleinerer Durchmesser der einzelnen [mm] A_k's [/mm] für die Überdeckung? Ist es richtig, dass ein kleineres Delta eine bessere Approximation bewirkt, da die Abstände der einzelnen Punkte via [mm] diam(A_k) [/mm] kleiner werden und eine bessere Approximation im Allgemeinen zu einem fallenden [mm] \mu^\* [/mm] führt?)

3.)Sei [mm] (A_i)i\in \IN \subset [/mm] P(X). Sei dazu [mm] U_{\epsilon}(A_i) [/mm]
die Umgebung als Menge aller Folgen [mm] (A_{ij})j\in \IN \subset \mathcal{A}, [/mm] welche [mm] A_i [/mm] überdecken.
Falls [mm] \mu_{\delta}^\*=\infty, [/mm] dann Ungleichung klar, also
Betrachtung [mm] \mu_{\delta}^\*<\infty. [/mm]

Frage: Bishierhin in Ordnung oder fehlerhaft? Lässt sich der Beweis fortsetzen mit einer Abschätzung mit [mm] \epsilon [/mm] oder Fehl am Platz?


        
Bezug
Äußere Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:59 Mi 20.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,


> zu a)
>  1) [mm]\mu^\*=sup[/mm] 0=0, da [mm]\mu_\delta^\*(\emptyset)=0[/mm]
>  Außerdem Nichtnegativität klar, da [mm]\mu[/mm] additive Funktion
> [mm]\mathcal{A}\to [0,\infty).[/mm]

Wenn du bereits weißt, dass die [mm] $\mu_\delta^\*$ [/mm] äußere Maße sind, ist das klar mit [mm]\mu_\delta^\*(\emptyset)=0[/mm]
Wenn nicht, ist das nicht sooo klar.

> 2) Monotonie:
>  Sei [mm]A\subset[/mm] B [mm]\subset[/mm] X:
>  [mm]\{\summe_{k=1}^{\infty}\mu(A_k): A_k \in \mathcal{A},diam(A_k)\leq \delta, A\subset \bigcup_{k}^{}A_k\} \supset \{\summe_{k=1}^{\infty}\mu(A_k): A_k \in \mathcal{A},diam(A_k)\leq \delta, B\subset \bigcup_{k}^{}A_k\},[/mm]

[ok]

> d.h. die erste Menge liefert eine bessere Überdeckung.

Nein, daran liegt das nicht.
Es liegt schlichtweg daran, dass Jede Überdeckung von B auch eine Überdeckung von A ist.
Mach dir auch klar: Die von dir angegebenen Mengen sind keine Mengen von Überdeckungen sondern Mengen von (erweiterten) reellen Zahlen!
Du betrachtest nämlich die Mengen der [mm] $\summe_{k=1}^{\infty}\mu(A_k)$ [/mm]

> (Anmerkung Grenzwert müsste verwendbar sein, da es das
> gleiche Ergebniss ergibt, da [mm]\mu_{\delta}^\*[/mm] zunimmt, wenn
> [mm]\delta[/mm] abnimmt.

Wenn du dir nicht sicher bist, lass sowas doch weg. Es ist doch unnötigt.

>  Zwischenfrage: Ich bin leicht verwirrt von dieser neuen
> Art der Überdeckung. Was genau bewirkt ein
> größerer/kleinerer Durchmesser der einzelnen [mm]A_k's[/mm] für
> die Überdeckung? Ist es richtig, dass ein kleineres Delta
> eine bessere Approximation bewirkt, da die Abstände der
> einzelnen Punkte via [mm]diam(A_k)[/mm] kleiner werden und eine
> bessere Approximation im Allgemeinen zu einem fallenden
> [mm]\mu^\*[/mm] führt?)

Klares Jein!
Das hängt von der verwendeten Metrik ab. Bei der euklidisches Metrik sollte das aber stimmen.

>  Falls [mm]\mu_{\delta}^\*=\infty,[/mm] dann Ungleichung klar,

wieso?

> also Betrachtung [mm]\mu_{\delta}^\*<\infty.[/mm]
>  
> Frage: Bishierhin in Ordnung oder fehlerhaft?

Bis hierhin ok… weiß nur nicht, worauf du hinaus willst. Mach mal weiter!

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Äußere Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:30 Mi 20.05.2020
Autor: TS85

Das weiß ich auch nicht so genau, ich hatte auf einen Hinweis gehofft bis zu meiner nächsten Bearbeitung.



Bezug
                        
Bezug
Äußere Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:37 Mi 20.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Das weiß ich auch nicht so genau, ich hatte auf einen
> Hinweis gehofft bis zu meiner nächsten Bearbeitung.

aha, dann ein heißer Tipp:
Du brauchst nicht mehr als [mm] $\mu^\* [/mm] = [mm] \sup_{\delta > 0} \mu_\delta^\*$ [/mm] und dass die [mm] \mu_\delta^\* [/mm] äußere Maße sind… der Rest ist straight forward in einer Zeile hinzuschreiben.

Gruß,
Gono


Bezug
                                
Bezug
Äußere Maß: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:57 Do 21.05.2020
Autor: TS85

[mm] \mu_\delta^\*(\cup A_k)\leq \Sigma \mu_\delta^\*(A_k) \leq \Sigma\underbrace{\mu^\*(A_k)}_{\Summe sup_{\delta>0}\mu_\delta^\*(A_k)} \Rightarrow \mu^\* [/mm] ist äußere Maß.
Ist das schon alles oder muss nicht irgendetwas zum Metrischen gesagt werden, bzw. woraus folgt "metrische" ä. M. (vermutlich metrisch nur vorhanden, wegen diam, also unrelevant)

zu b)
z.z. [mm] \mu_\delta^\* [/mm] metrisch/nicht metrisch:

Metrisches äußeres Maß: dist(A,B)>0 [mm] \Rightarrow \mu^\*(A\cup B)=\mu^\*(A)+\mu^\*(B). [/mm] Damit dies gilt, müssen Mengen A und B separiert sein, d.h.
[mm] inf\{d(a,b): a \in A,b \in B\}>0 [/mm] muss gelten.
Gilt dies hier automatisch [mm] \underline{nicht}, [/mm] da die Folgenglieder der [mm] A_k's [/mm] nicht disjunkt sein müssen?

Bezug
                                        
Bezug
Äußere Maß: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:46 Fr 22.05.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]\mu_\delta^\*(\cup A_k)\leq \Sigma \mu_\delta^\*(A_k) \leq \Sigma\underbrace{\mu^\*(A_k)}_{\Summe sup_{\delta>0}\mu_\delta^\*(A_k)} \Rightarrow \mu^\*[/mm]
> ist äußere Maß.

Das ist schon wieder unsauber aufgeschrieben, du meinst aber vermutlich das richtige.
Schreibe doch mal eine saubere Gleichungskette hin die wie folgt aussieht:

[mm]\mu_\delta^\*(\bigcup_{k=1}^\infty A_k) = \ldots \le \ldots = \sum_{k=1}^\infty \mu_\delta^\*(A_k)[/mm]

Begründe dabei jedes (Un-)Gleichheitszeichen.
Sauberer Aufschrieb hilft dir selbst auch, Dinge anständig nachzuvollziehen und Lücken in deiner Argumentation zu entdecken!
Also nochmal!

>  Ist das schon alles oder muss nicht irgendetwas zum
> Metrischen gesagt werden, bzw. woraus folgt "metrische" ä.
> M. (vermutlich metrisch nur vorhanden, wegen diam, also
> unrelevant)

Na die Definition von metrisch hast du doch bereits bei b) hingeschrieben.
Weise also die Eigenschaft von [mm] $\mu_\delta^\*$ [/mm] nach, in dem du wieder sauber aufschreibst:

[mm] $\mu_\delta^\*(A \cup [/mm] B) = [mm] \ldots [/mm] = [mm] \mu_\delta^\*(A) [/mm] + [mm] \mu_\delta^\*(B)$ [/mm]
  

> zu b)
>  z.z. [mm]\mu_\delta^\*[/mm] metrisch/nicht metrisch:
>  
> Metrisches äußeres Maß: dist(A,B)>0 [mm]\Rightarrow \mu^\*(A\cup B)=\mu^\*(A)+\mu^\*(B).[/mm]
> Damit dies gilt, müssen Mengen A und B separiert sein,
> d.h.
>  [mm]inf\{d(a,b): a \in A,b \in B\}>0[/mm] muss gelten.

Nein. Metrisch bedeutet, dass obige Gleichheit [mm] \mu^\*(A\cup B)=\mu^\*(A)+\mu^\*(B)[/mm]  gilt, WENN  [mm]\inf\{d(a,b): a \in A,b \in B\}>0[/mm]  gilt!
Nicht umgekehrt.
Insbesondere sind zwei Mengen disjunkt, wenn  [mm]\inf\{d(a,b): a \in A,b \in B\}>0[/mm] gilt.
Wenn dir das nicht klar ist: Zeige das!
Da ist es übrigens besser, die Kontraposition zu zeigen, d.h. dass gilt: A,B nicht diskunkt, daraus folgt  [mm]\inf\{d(a,b): a \in A,b \in B\}=0[/mm]

Gruß,
Gono

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