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| Aufgabe | a) Sei $\Omega$ eine Menge. Zu $\varepsilon>0$ sei $\mu_\varepsilon\colon \mathcal{P}(\Omega)\to[0, \infty]$ ein äußeres Maß. Dann ist
$\mu\colon \mathcal{P}(\Omega)\to[0, \infty], \quad \mu(E)=\underset{\varepsilon>0}{\sup}\,\mu_\varepsilon(E)$ für alle $E\subseteq \Omega$
ein äußeres Maß. Wir schreiben $\mu = \underset{\varepsilon>0}{\sup}\,\mu_\varepsilon$.
b) Es seien $\alpha > 0$, $\epsilon > 0$. WIr definieren die Mengenfunktion $\mathcal{H}_\alpha^\varepsilon\colon \mathcal{P}(\mathbb{R}^d)\to[0, \infty]$ durch
$\mathcal{H}_\alpha^\varepsilon(E)=\inf\left\{\sum_{j=1}^\infty \left(\mathrm{diam}(F_j)\right)^\alpha:F_j\subseteq\mathbb{R}^d \text{ mit } \mathrm{diam}(F_j)\leqslant \varepsilon \text{ für alle } j\in\mathbb{N} \text{ und } E\subseteq\bigcup_{j=1}^\infty F_j\right\}$.
Zeigen Sie, dass $\mathcal{H}_\alpha^\varepsilon$ äußeres Maß ist. Zeigen Sie auch, dass $\mathcal{H}_\alpha = \underset{\varepsilon>0}{\sup}\,\mathcal{H}_\alpha^\varepsilon$ ein äußere Maß ist.
Bemerkung: $\mathcal{H}_\alpha$ heißt das $\alpha$-dimensionale äußere Hausdorffmaß. |
Hallo zusammen, ich brauche mal wieder etwas Unterstützung bei einer Aufgabe. Ich habe, oder zumindest bin ich mir da relativ sicher, Teil a) schon richtig gelöst, bei b) bin ich mir aber bei einigen Stellen nicht sicher:
Zu zeigen ist ja in b) zunächst:
i) $\mathcal{H}_\alpha^\varepsilon(\emptyset)=0$
ii) $A\subseteq B\subseteq \mathbb{R}^d \Rightarrow \mathcal{H}_\alpha^\varepsilon(A)\leqslant \mathcal{H}_\alpha^\varepsilon(B)$
iii) Für $A_1, A_2, \dotsc \in\mathcal{P}(\mathbb{R^d})$ gilt $\mathcal{H}_\alpha^\varepsilon\left(\bigcup_{k=1}^\infty A_k\right)\leqslant \sum_{k=1}^\infty \mathcal{H}_\alpha^\varepsilon(A_k)$
Mein Beweisversuch:
i) Es ist $\emptyset\in\mathbb{R}^d$ mit $\mathrm{diam}(\emptyset)=0\leqslant \varepsilon$. Sei $F_j = \emptyset$ für alle $j\in\mathbb{N}\Rightarrow \emptyset\subseteq\bigcup_{j=1}^\infty F_j $ und $\sum_{j=1}^\infty\left(\mathrm{diam}(F_j)\right)^\alpha\right) = \sum_{j=1}^\infty 0^\alpha = 0$.
ii) Seien $A\subseteq B\subseteq \mathbb{R}^d$ Mengen. Sei $\{F_j\}_{j\in\mathbb{N}}$ das Mengensystem, dass $B$ so überdeckt, wie für $\mathcal{H}_\alpha^\varepsilon(B)$ nach Definition (ich wusste nicht, wie ich das anders ausdrücken kann, aber ich hoffe man erkennt was gemeint ist; für Vorschläge, was diese Formulierung angeht, bin ich natürlich auch dankbar! :)). Dann überdeckt $\{F_j\}_{j\in\mathbb{N}}$ auch $A$, also folgt $A\subseteq B\subseteq \bigcup_{j=1}^\infty F_j$, und damit $\mathcal{H}_\alpha^\varepsilon(B)\geqslant\mathcal{H}_\alpha^\varepsilon(A)$.
(Muss ich da noch was zu schreiben, oder ist, sozusagen, klar, dass das gilt, da $\leqslant$ ja Gleichheit nicht ausschließt?)
iii) Seien $A_1, A_2, \dotsc \in \mathcal{P}(\mathbb{R}^d)$. Sei nun $\mathcal{H}_\alpha^\varepsilon(A_i)=\inf\left\{\sum_{j=1}^\infty \left(\mathrm{diam}(F_{ij})\right)^\alpha:F_{ij}\subseteq\mathbb{R}^d \text{ mit } \mathrm{diam}(F_{ij})\leqslant \varepsilon \text{ für alle } j\in\mathbb{N} \text{ und } A_i\subseteq\bigcup_{j=1}^\infty F_{ij}\right\}$. Dann ist $\bigcup_{i=1}^\infty A_i \subseteq \bigcup_{i, j=1}^\infty F_{ij}$ und
$\mathcal{H}_\alpha^\varepsilon\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i \right)=\inf\left\{\sum_{j=1}^\infty \left(\mathrm{diam}(F_{ij})\right)^\alpha:F_{ij}\subseteq\mathbb{R}^d \text{ mit } \mathrm{diam}(F_{ij})\leqslant \varepsilon \text{ für alle } i, j\in\mathbb{N} \text{ und } \bigcup_{i=1}^\infty A_i \subseteq\bigcup_{i,j=1}^\infty F_{ij}\right\}$.
Da für Mengen $A, B$ gilt $\inf(A+B) = \inf A + \inf B$, folgt
$\sum_{i=1}^\infty \mathcal{H}_\alpha^\varepsilon(A_i)\geqslant \mathcal{H}_\alpha^\varepsilon\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i \right)$.
Sind die Beweisschritte so in Ordnung (höchstwahrscheinlich nicht, relativ sicher bin ich mir nur bei i)), verbesserungswürdig aber im Grunde richtig, oder kompletter Quatsch? Könnt ihr mir hier helfen?
Stimmt es übrigens, dass "$\mathcal{H}_\alpha = \underset{\varepsilon>0}{\sup}\,\mathcal{H}_\alpha^\varepsilon$ ist äußeres Maß" direkt aus a) folgt, oder ist da noch mehr zu tun?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 30.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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