basis des unterraums < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir betrachten die Vektoren
[mm] v_1 =\vektor{1 \\ 1\\7\\-1}
[/mm]
[mm] v_2 =\vektor{1 \\ 2\\0\\4}
[/mm]
[mm] v_3 =\vektor{1 \\ -4\\42\\-26}
[/mm]
[mm] v_4 =\vektor{2 \\ 1\\21\\-7}
[/mm]
im [mm] \IQ [/mm] -Vektorraum [mm] \IQ^4 [/mm] . Geben sie eine Basis des Unterraumes V= [mm] span(v_1 [/mm] , [mm] v_2 [/mm] , [mm] v_3 [/mm] , [mm] v_4) [/mm] an! |
Hallo zusammen,
ich bin verwirrt, denn ist eine Basis nicht gegeben durch:
[mm] b_1=\vektor{1 \\ 0\\0\\0}
[/mm]
[mm] b_2=\vektor{0 \\ 1\\0\\0}
[/mm]
[mm] b_3=\vektor{0 \\ 0\\1\\0}
[/mm]
[mm] b_4=\vektor{0 \\ 0\\0\\1}
[/mm]
[mm] Basis=span(b_1, b_2, b_3, b_4)
[/mm]
Richtig?
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Das geht schon aus Dimensionsgründen nicht.
[mm] $dim(span(v_1,v_2,v_3,v_4))=2$
[/mm]
[mm] $dim(span(b_1,b_2,b_3,b_4))=4$
[/mm]
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Ok, da war ich wohl wieder zu hektisch...
Also
>
> [mm]dim(span(v_1,v_2,v_3,v_4))=2[/mm]
somit gibt es unter diesen Vektoren zwei, mit denen ich alle vier beschreiebn kann, oder?
Jetzt frage ich mich, wie könnte ich das lösen. Meine Idee:
Es gibt hier also linaer abh. Spalten, wenn ich die [mm] v_i [/mm] als Matrix schreibe. Dann würde ich die Matrix (nenne wir sie) A transponieren und dann über elemantare Zeilenumformungen die abh. Zeilen finden und zu "0"-Zeilen umformen. Und wenn ich das dann wieder zurück transponiere, dann müssten doch jetzt noch zwei Spalten dort stehen und diese beiden Spalten bilden dann eine Basis.
Stimmt das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Mo 25.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
es geht so, aber warum nicht gleich die vektoren als zeilen?
Gruss leduart
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Mmmh, das liegt an meinem Gedankengang, man kann die [mm] v_i [/mm] auch direkt als Zeieln schreiben...
also dann mal gerechnet und die Basis=span{ [mm] \vektor{1\\1\\7 \\ -1};\vektor{1\\2\\0 \\ 4} [/mm] }
Richtig so? (Auch wie ich meine Lösung notiert habe.)
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> Mmmh, das liegt an meinem Gedankengang, man kann die [mm]v_i[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> auch direkt als Zeieln schreiben...
>
> also dann mal gerechnet und die Basis=span{ [mm]\vektor{1\\
1\\
7 \\
-1};\vektor{1\\
2\\
0 \\
4}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
>
> Richtig so? (Auch wie ich meine Lösung notiert habe.)
Hallo,
wie auch immer Du es gerechnet hast - es ist richtig.
Aber Du hast es falsch hingeschrieben. Der Span besteht aus vielen Vektoren, nämlich aus allen, die man mit den zweien erzeugen kann.
Richtig ist: es ist ($\vektor{1\\1\\7 \\ -1};\vektor{1\\2\\0 \\ 4}$ ) eine Basis von $ span(v_1 $ , $ v_2 $ , $ v_3 $ , $ v_4) $.
(Daher ist dann natürlich span$\vektor{1\\1\\7 \\ -1};\vektor{1\\2\\0 \\ 4}$ =$ span(v_1 $ , $ v_2 $ , $ v_3 $ , $ v_4) $.)
LG Angela
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