beliebige Diagonalisierbarkeit < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Do 17.03.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Seien $a,b,c,d [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $(a-d)^{2}+4bc>0$. [/mm] Zeige, dass [mm] $\vektor{a&b\\c&d}$ [/mm] diagonalisierbar über [mm] $\IR$ [/mm] ist. |
Hallo,
also für die Eigenwerte erhalte ich: [mm] $t_{1/2}=\frac{a+d}{2} \pm \frac{\sqrt{a^{2}-2ad+4bc+d^{2}}}{2}$
[/mm]
und für die Basiselemente der Eigenräume:
[mm] $\vektor{\frac{-\sqrt{a^{2}-2ad+4bc+d^{2}}-a+d}{2c}\\ 1}$
[/mm]
Die Bedingung [mm] $(a-d)^{2}+4bc>0$ [/mm] versichert mir eine Wurzel im Zähler $> 0$ aber wie nützt mir das etwas um eine Aussage für die Diagonalisierbarkeit zu treffen??
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Do 17.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]a,b,c,d \in \IR[/mm] mit [mm](a-d)^{2}+4bc>0[/mm]. Zeige, dass
> [mm]\vektor{a&b\\c&d}[/mm] diagonalisierbar über [mm]\IR[/mm] ist.
> Hallo,
>
> also für die Eigenwerte erhalte ich: [mm]t_{1/2}=\frac{a+d}{2} \pm \frac{\sqrt{a^{2}-2ad+4bc+d^{2}}}{2}[/mm]
>
> und für die Basiselemente der Eigenräume:
>
> [mm]\vektor{\frac{-\sqrt{a^{2}-2ad+4bc+d^{2}}-a+d}{2c}\\ 1}[/mm]
>
> Die Bedingung [mm](a-d)^{2}+4bc>0[/mm] versichert mir eine Wurzel im
> Zähler [mm]> 0[/mm] aber wie nützt mir das etwas um eine Aussage
> für die Diagonalisierbarkeit zu treffen??
Die obige Bedingung und
$ [mm] t_{1/2}=\frac{a+d}{2} \pm \frac{\sqrt{a^{2}-2ad+4bc+d^{2}}}{2} [/mm] $
zeigen doch, dass die Matrix die Eigenwerte [mm] t_1 [/mm] und [mm] t_2 [/mm] hat und dass [mm] t_1 \ne t_2 [/mm] ist.
So, jetzt sei noch [mm] x_1 [/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] t_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert [mm] t_2. [/mm] Und was wissen wir aus
https://matheraum.de/read?t=778666 ?
Bingo ! [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] sind linear unabhängig !! Damit ist [mm] \{x_1,x_2\} [/mm] eine Basis des [mm] \IR^2 [/mm] aus Eigenvektoren. Und das bedeutet was ?
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Danke und Gruss
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> kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:04 Do 17.03.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
> das bedeutet was?
Das die Matrix diagonalisierbar ist.
> FRED
Danke
Grusss
kushkush
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