beobachtbaren Ereignisse,Eig. < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Fr 19.04.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Hallo
Betrachte eine einfache Irrfahrt [mm] S_n [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^n X_k [/mm] mit [mm] P[X_k =1]=P[X_k=-1] [/mm] = 1/2.
Sei [mm] \mathcal{A}_n [/mm] die Menge aller bis zum Zeiptunkt n beobachtbaren Ereignisse, das heißt alle Ereignisse die sich als Vereinigung von Ereignissen der Form [mm] \{ X_1 = x_1 ,.., X_n = x_n\} [/mm] darstellen lassen
Zeige : Jedes [mm] A_n [/mm] komplementsstabil und abgeschlossen bez endlicher Vereinigung bzw. SChnitten |
Hallo
Ich hab hier ein Problem mit der Notation.
Z.B beim ersten:
[mm] \forall [/mm] Ereignisse A [mm] \in \mathcal{A}_n [/mm] -> [mm] A^c [/mm] = [mm] \Omega \setminus [/mm] A [mm] \in \mathcal{A}_n
[/mm]
A= [mm] \bigcup_{x_1 ,.., x_k : ??} \{X_1 = x_1 ,.., X_n = x_n\}
[/mm]
Wo noch Fragezeichen stehen, steht ja irgendeine Bedingungen an die [mm] x_1 [/mm] ,.., [mm] x_k [/mm] die sie erfüllen müssen. z.B. dass die Irrfahrt mindestens k mal nach oben geht oder so. Aber wie notierte ich das allgemein?
Danke für jede Hilfe diesbezüglich.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:59 Sa 20.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
wie inzwischen in einem anderen Thread von mir geschrieben gilt
$ [mm] \mathcal{A}_n=\{\underbrace{\bigcup_{(x_1,\ldots,x_n)\in I}\{X_1=x_1,\ldots,X_n=x_n\}}_{=\{(X_1,\ldots,X_n)\in I\}}\;|\;I\subseteq\{-1,1\}^n\}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:14 So 21.04.2013 | | Autor: | sissile |
Danke, die Notation muss ich mir merken!
Nun zum Bsp:
A [mm] \in A_n [/mm]
A= [mm] \bigcup_{(x_1 ,.., x_k) \in I_1 } \{X_1 = x_1 ,.., X_n = x_n\} [/mm]
[mm] I_1 \in [/mm] I [mm] \subseteq \{1,-1\}^n
[/mm]
[mm] A^c [/mm] = [mm] (\bigcup_{(x_1 ,.., x_k) \in I_1 } \{X_1 = x_1 ,.., X_n = x_n\})^c [/mm] = [mm] \bigcap_{(x_1 ,.., x_k) \in I_1 } \{X_1 = x_1 ,.., X_n = x_n\}^c
[/mm]
wie weiß ich nun, dass dies [mm] \in \mathcal{A}_n [/mm] ist?
Vereinigung:
[mm] A_i \in A_n [/mm] mit i [mm] \in [/mm] J endlich
[mm] A_i [/mm] = [mm] \bigcup_{(x_1 ,.., x_k) \in I_i } \{X_1 = x_1 ,.., X_n = x_n\} [/mm]
[mm] I_i \in [/mm] I [mm] \subseteq \{1,-1\}^n
[/mm]
[mm] \bigcup_{i\in J} A_i [/mm] = [mm] \bigcup_{i\in J} \bigcup_{(x_1 ,.., x_k) \in I_i } \{X_1 = x_1 ,.., X_n = x_n\} [/mm] = [mm] \bigcup_{i \in J ,(x_1 ,.., x_k) \in I_i } \{X_1 = x_1 ,.., X_n = x_n\} \in \mathcal{A}_n
[/mm]
Beim letzten schritt bin ich mir hier nicht ganz sicher, aber es ist ja wieder eine vereinigung von der Form.
Wenn [mm] \mathcal{A}_n [/mm] komplementstabil und Vereinigungsstabil ist ist es auch Durchschnitssstabil (Vorlesung)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:37 So 21.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> A [mm]\in A_n[/mm]
> A= [mm]\bigcup_{(x_1 ,.., x_k) \in I_1 } \{X_1 = x_1 ,.., X_n = x_n\}[/mm]
> [mm]I_1 \in[/mm] I [mm]\subseteq \{1,-1\}^n[/mm]
[mm] $I_1\subseteq\{1,-1\}^n$ [/mm] meinst du wohl.
> [mm]A^c[/mm] = [mm](\bigcup_{(x_1 ,.., x_k) \in I_1 } \{X_1 = x_1 ,.., X_n = x_n\})^c[/mm]
> = [mm]\bigcap_{(x_1 ,.., x_k) \in I_1 } \{X_1 = x_1 ,.., X_n = x_n\}^c[/mm]
Ausnahmsweise hilft die letzte Umformung hier nicht weiter.
Du suchst ein [mm] $I_2\subseteq\{1,-1\}^n$ [/mm] mit
[mm] $A^c=\bigcup_{(x_1 ,.., x_k) \in I_2 } \{X_1 = x_1 ,.., X_n = x_n\}$.
[/mm]
Probiere mal [mm] $I_2:=\{-1,1\}^n\setminus I_1$!
[/mm]
> Vereinigung:
> [mm]A_i \in A_n[/mm] mit i [mm]\in[/mm] J endlich
> [mm]A_i[/mm] = [mm]\bigcup_{(x_1 ,.., x_k) \in I_i } \{X_1 = x_1 ,.., X_n = x_n\}[/mm]
> [mm]I_i \in[/mm] I [mm]\subseteq \{1,-1\}^n[/mm]
> [mm]\bigcup_{i\in J} A_i[/mm] =
> [mm]\bigcup_{i\in J} \bigcup_{(x_1 ,.., x_k) \in I_i } \{X_1 = x_1 ,.., X_n = x_n\}[/mm]
> = [mm]\bigcup_{i \in J ,(x_1 ,.., x_k) \in I_i } \{X_1 = x_1 ,.., X_n = x_n\} \in \mathcal{A}_n[/mm]
>
> Beim letzten schritt bin ich mir hier nicht ganz sicher,
> aber es ist ja wieder eine vereinigung von der Form.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Wenn du explizit ein $I$ mit
[mm] $\bigcup_{i\in J} A_i=\bigcup_{(x_1 ,.., x_k) \in I} \{X_1 = x_1 ,.., X_n = x_n\}$
[/mm]
angeben möchtest, probiere mal [mm] $I:=\bigcup_{i\in J}I_i$.
[/mm]
> Wenn [mm]\mathcal{A}_n[/mm] komplementstabil und Vereinigungsstabil
> ist ist es auch Durchschnitssstabil (Vorlesung)
Ja.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:59 So 21.04.2013 | | Autor: | sissile |
Danke für die Antwort.
> Du suchst ein $ [mm] I_2\subseteq\{1,-1\}^n [/mm] $ mit
$ [mm] A^c=\bigcup_{(x_1 ,.., x_k) \in I_2 } \{X_1 = x_1 ,.., X_n = x_n\} [/mm] $.
> Probiere mal $ [mm] I_2:=\{-1,1\}^n\setminus I_1 [/mm] $!
[mm] A^c [/mm] = [mm] (\bigcup_{(x_1 ,.., x_k) \in I_1 } \{X_1 = x_1 ,.., X_n = x_n\})^c\overbrace{=}^{?} \bigcup_{(x_1 ,.., x_k) \in I_2 } \{X_1 = x_1 ,.., X_n = x_n\}
[/mm]
Wie sollte ich denn die Gleichheit zeigen. Intuitiv ist sie mir klar.
Versuchte mit [mm] A^c [/mm] = 1- A was zu machen. Aber das hat mir nichts gebracht.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:13 So 21.04.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Du suchst ein [mm]I_2\subseteq\{1,-1\}^n[/mm] mit
>
> [mm]A^c=\bigcup_{(x_1 ,.., x_k) \in I_2 } \{X_1 = x_1 ,.., X_n = x_n\} [/mm].
>
> > Probiere mal [mm]I_2:=\{-1,1\}^n\setminus I_1 [/mm]!
>
>
> [mm]A^c[/mm] = [mm](\bigcup_{(x_1 ,.., x_k) \in I_1 } \{X_1 = x_1 ,.., X_n = x_n\})^c\overbrace{=}^{?} \bigcup_{(x_1 ,.., x_k) \in I_2 } \{X_1 = x_1 ,.., X_n = x_n\}[/mm]
>
> Wie sollte ich denn die Gleichheit zeigen.
Du könntest nacheinander [mm] "$\subseteq$" [/mm] und [mm] "$\supseteq$" [/mm] zeigen.
Oder in einem Zug:
Für alle [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] gelten folgende Äquivalenzen:
[mm] $\omega\in(\bigcup_{(x_1 ,.., x_k) \in I_1 } \{X_1 = x_1 ,.., X_n = x_n\})^c$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] nicht [mm] $(X_1(\omega),\ldots,X_n(\omega))\in I_1$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $(X_1(\omega),\ldots,X_n(\omega))\in I_2$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\omega\in\bigcup_{(x_1 ,.., x_k) \in I_2 } \{X_1 = x_1 ,.., X_n = x_n\}$.
[/mm]
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