beschränktes Wachstum < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bei einem Wachstumsvorgang mit dem Anfangsbestand B(0)=20 gilt für den Bestand nach t+1 [mm] (t\in\IN) [/mm] Zeitschritten:
B(t+1)=0,7*B(t)+10.
Berechne B(1), B(2), ...B(5). Zeige, dass es sich um beschränktes Wachstum handelt. Bestimme die Schranke S. |
Hallo,
B(0)=20
B(1)=24
B(2)=26,8
B(3)=28,76
B(4)=30,132
B(5)=31,0924
ich hatte heute zum ersten Mal einen gymnasialen Nachhilfeschüler aus der Mittelstufe - bisher immer nur Oberstufe. Sie machen gerade u.a. exponentielles, beschränktes & logistisches Wachstum.
Mit den Wachstumsarten kann ich umgehen - allerdings nur auf Oberstufenniveau, mit Differentialgleichungen.
Die Lösung für die DGL des beschränkten Wachstums wäre hier:
[mm] $B(t)=\bruch{100}{3}-\bruch{40}{3}*e^{t*ln(0,7)}=\bruch{100}{3}-\bruch{40}{3}*(0,7)^t$
[/mm]
mit der Schranke [mm] S=\bruch{100}{3}.
[/mm]
Aber wie löst man in der Mittelstufe diese Aufgabe?
Ich stehe da im Moment völlig auf dem Schlauch und bekomme keine rekursive Folge à la
B(t+1)=B(t)+k*[S-B(t)]
hin.
Besten Dank für jede Erklärung.
LG, Martinius
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Mo 30.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
schreib die paar ersten Glieder hin. die haettest du besser gleich NICHT rekursiv ausgerechnet.
[mm] B(1)=0.7*B_0+10
[/mm]
[mm] B(2)=0.7^2*B_0+0.7*10+10
[/mm]
[mm] B(3)=0.7^3*B_0+0.7^2*10+0.7*10+10=0.7^3*B_0+10*(0.7^0+0.7^1+0.7^2)
[/mm]
jetz sollte das Kind nur noch die geom. Reihe kennen und du sehen, was B(n) ist.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Mo 30.03.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo leduart,
besten Dank,
Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 Mo 30.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo
> schreib die paar ersten Glieder hin. die haettest du
> besser gleich NICHT rekursiv ausgerechnet.
> [mm]B(1)=0.7*B_0+10[/mm]
> [mm]B(2)=0.7^2*B_0+0.7*10+10[/mm]
>
> [mm]B(3)=0.7^3*B_0+0.7^2*10+0.7*10+10=0.7^3*B_0+10*(0.7^0+0.7^1+0.7^2)[/mm]
>
> jetz sollte das Kind nur noch die geom. Reihe kennen und du
> sehen, was B(n) ist.
> Gruss leduart
Hallo,
geometrische Reihen kennen Schüler der Mittelstufe mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit nicht.
Aber man sollte die Differenz B(n+1)-B(n) bilden. Dabei entsteht der Term 10-0.3*B(n), und der ist (so lange alle B(n) unter 100/3 bleiben) positiv.
Gruß Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:10 Di 31.03.2009 | | Autor: | Martinius |
Hallo abakus,
Dank auch an dich; so ist es in der Mittelstufe wahrscheinlich besser zu erklären.
LG, Martinius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Di 31.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo abakus,
>
> Dank auch an dich; so ist es in der Mittelstufe
> wahrscheinlich besser zu erklären.
>
> LG, Martinius
Hallo Martinius,
vielen Dank auch an dich. Die Aufgabe war eine schöne Inspiration zur Gestaltung einer heutigen Unterrichtsstunde (wir sind gerade bei Zahlenfolgen). Hier war alles drin: rekursive Vorschrift, Monotonie (in Abhängigkeit vom Startwert), Beschränktheit, Grenzwert ...
Gruß Abakus
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