bijektiv, injektiv, surjektiv < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Mo 15.10.2012 | | Autor: | DarkJiN |
Ich habe eine Frage zu den oben genannten 3 Begriffen.
Injektiv bedeutet doch einfach das jedem y- Wert auch nur ein x-Wert zugeordnet wird, oder?
Funktionen müssen nicht injektiv sein, können es aber oder?
[mm] f(X)=x^2-1 [/mm] für [mm] x\ge0 [/mm] ist doch injektiv, oder?
[mm] f(X)=x^2-1 [/mm] für [mm] x\ge-10 [/mm] ist nicht mehr injektiv,richtig?
surjektiv bedeutet, dass jeder y Wert mindestens einmal vergeben wird, oder? Dabei ist es auch unerheblich, ob dieser Y-wert von 2 x-Werten abgebildet wird, richtig?
In meinen Unterlagen steht aber auch, dass eine Funktion surjektiv ist wenn f(x)=y gilt. Ist eine Funktion immer nur surjektiv wenn das gilt?
f(x)= [mm] x^2-1 [/mm] für [mm] x\ge0 [/mm] könnte doch theoretisch auch surjektiv sein, oder?
Wie kann ich sowas an Funktionen ablesen?
Und eine bijektive Funktion ist gleichzeitig surjektiv und injektiv sein. Deswegen sollten wir vllt erst meine Fragen zu den beiden Begriffen vollständig klären.
Vielen Dank schonmal im vorraus :)
|
|
| |
|
Hallo,
> Ich habe eine Frage zu den oben genannten 3 Begriffen.
Dann schaun mer mal, ob wir sie dir beantworten können. 
> Injektiv bedeutet doch einfach das jedem y- Wert auch nur
> ein x-Wert zugeordnet wird, oder?
Es kann sein, dass du das richtig meinst, aber es ist sehr missverständlich ausgedrückt. Eine Abbildung f: [mm] {X}\mapsto{Y} [/mm] ist injektiv, wenn für [mm] x_1, x_2 \in{X} [/mm] stets
[mm]x_1\ne{x_2} \Rightarrow f(x_1)\ne{f(x_2})[/mm]
gilt. Verbal auisgedrückt: zwei verschiedene Elemente des Urbilds besitzen stest unterschiedliche Bilder. Deine Formulierung ist besonders an der Stelle gefährlich, wo du von jedem y-Wert sprichst. Das könnte nämlich implizieren, dass jedes [mm] y\in{Y} [/mm] im Bild von X unter f liegt, und diese Eigenschaft nennt man Surjektivität.
> Funktionen müssen nicht injektiv sein, können es aber
> oder?
>
> [mm]f(X)=x^2-1[/mm] für [mm]x\ge0[/mm] ist doch injektiv, oder?
Ja, das stimmt.
>
> [mm]f(X)=x^2-1[/mm] für [mm]x\ge-10[/mm] ist nicht mehr injektiv,richtig?
Das ist falsch. Aber bspw. auf dem Intervall [-1;1] wäre sie nicht mehr injektiv.
>
> surjektiv bedeutet, dass jeder y Wert mindestens einmal
> vergeben wird, oder? Dabei ist es auch unerheblich, ob
> dieser Y-wert von 2 x-Werten abgebildet wird, richtig?
Das ist so richtig.
>
> In meinen Unterlagen steht aber auch, dass eine Funktion
> surjektiv ist wenn f(x)=y gilt. Ist eine Funktion immer nur
> surjektiv wenn das gilt?
Da stehen bestimmt keine kleinen Buchstaben, sondern große, und die stehen für Mengen. Wenn X Urbild- und Y Bildmenge ist bedeutet
f(X)=Y
im Prinzip nichts anderes als das, mwas du verbal formuliert hast.
>
> f(x)= [mm]x^2-1[/mm] für [mm]x\ge0[/mm] könnte doch theoretisch auch
> surjektiv sein, oder?
Da muss man erst sagen, was man als Bildmenge bertachtet. Wenn man [mm] \IR [/mm] nimmt, ist die Funktion nicht surjektiv. Auf dem Intervall [mm] [-1;\infty) [/mm] jedoch ist sie es.
> Wie kann ich sowas an Funktionen ablesen?
Üben & Verstehen
> Und eine bijektive Funktion ist gleichzeitig surjektiv und
> injektiv sein. Deswegen sollten wir vllt erst meine Fragen
> zu den beiden Begriffen vollständig klären.
Genau: beide Eigenschaften zusammen ergeben die Bijektivität, die man auch manchmal als Eineindeutigkeit bezeichnet. Eine bijektive Abbildung ist nämlich immer umkehrbar.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Mo 15.10.2012 | | Autor: | DarkJiN |
Vielen Dank erstmal für deine Hilfe.
Also bedeutet injektiv das jedem 2 x-Werte niemals "denselben" y-Wert zugeordnet werden? Oder anders: Jeder Wert in der Zielmenge kann nur einem Wert in der Bildmenge zugeordnet werden?
Sind also nur bijektive Funktionen umkehrbar?
Gut, dass wir hier angekommen sind ich frage nämlich weil ich hier eine Aufgabe habe bei der ich entscheiden soll ob die Funktion
f(x)= [mm] x^2-1 [/mm] für [mm] x\ge0 [/mm]
umkehrbar ist. Dafür muss sie dann also injektiv und surjektiv sein.
Injektiv ist sie aber surjektiv?
Ich hab leider keine weiteren Angaben wie die Bildmenge.
"Da muss man erst sagen, was man als Bildmenge bertachtet. Wenn man $ [mm] \IR [/mm] $ nimmt, ist die Funktion nicht surjektiv. Auf dem Intervall $ [mm] [-1;\infty) [/mm] $ jedoch ist sie es. "
>
Moment,wenn ich jetzt alle Infos zusammen nehme, heißt das doch das bijektive Funktionen immer monoton Steigend oder fallend sein müssen, oder?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Also bedeutet injektiv das 2 x-Werte niemals
> "denselben" y-Wert zugeordnet werden? Oder anders: Jeder
> Wert in der Zielmenge kann nur
höchstens
>einem Wert in der Bildmenge
> zugeordnet werden?
Ja.
Sind [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] verschieden, so sind im Falle der Injektivität auch ihre Funktionswerte verschieden.
Andersrum: sind die Funktionswerte [mm] f(x_1) [/mm] und [mm] f(x_2) [/mm] gleich, so sind [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] gleich.
>
> Sind also nur bijektive Funktionen umkehrbar?
Genau.
>
> Gut, dass wir hier angekommen sind ich frage nämlich weil
> ich hier eine Aufgabe habe bei der ich entscheiden soll ob
> die Funktion
>
> f(x)= [mm]x^2-1[/mm] für [mm]x\ge0[/mm]
>
> umkehrbar ist. Dafür muss sie dann also injektiv und
> surjektiv sein.
Ja.
>
> Injektiv ist sie aber surjektiv?
>
> Ich hab leider keine weiteren Angaben wie die Bildmenge.
Es ist exakt so, wie es bereits hier geschrieben wurde:
> "Da muss man erst sagen, was man als Bildmenge bertachtet.
> Wenn man [mm]\IR[/mm] nimmt, ist die Funktion nicht surjektiv. Auf
> dem Intervall [mm][-1;\infty)[/mm] jedoch ist sie es. "
Falls es um eine HÜ geht, so schreib:
"betrachtet als Funktion f: [mm] [0,\infty[ \to [-1,\infty[ [/mm] ist die Funktion bijektiv,
ist die Zielmenge "größer", dann nicht.
> >
>
>
>
> Moment,wenn ich jetzt alle Infos zusammen nehme, heißt das
> doch das bijektive Funktionen immer monoton Steigend oder
> fallend sein müssen, oder?
Nein.
Die Funktion [mm] f:[0,2]\to [/mm] [0,2] mit
[mm]f(x):=\begin{cases} -x+2, & \mbox{fuer } 0\le x\le 1 \\
x-1, & \mbox{fuer } 1
ist injektiv und surjektiv, aber nicht monoton.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Mo 15.10.2012 | | Autor: | DarkJiN |
Es geht tatsächlich um eine Hausaufgabe die ich auch abgeben kann. Die wird dann korrigiert und mir zurück gegeben. Aber sie bringt mir keine Punkte, deswegen ist die Lösung mir eigentlich nciht so wichtig. Ich will verstehen, warum das so ist. Ich will das können und nicht blöd was aus dem Netz abschreiben. Weil dann könnte ich mir das auch sparen.
betrachtet als Funktion f: $ [mm] [0,\infty[ \to [-1,\infty[ [/mm] $ ist die Funktion bijektiv,
ist die Zielmenge "größer", dann nicht.
Erklärst du mir was genau damit gemeint ist?
Ich komm nicht genau darauf was der unterschied ist zu der Aussage [mm] x\ge [/mm] 0. Damit ist doch gemeint die Funktion im Intervall 0 bis unendlich oder nicht?
|
|
|
| |
|
> Es geht tatsächlich um eine Hausaufgabe die ich auch
> abgeben kann. Die wird dann korrigiert und mir zurück
> gegeben. Aber sie bringt mir keine Punkte, deswegen ist die
> Lösung mir eigentlich nciht so wichtig. Ich will
> verstehen, warum das so ist. Ich will das können und nicht
> blöd was aus dem Netz abschreiben. Weil dann könnte ich
> mir das auch sparen.
>
>
> betrachtet als Funktion f: [mm][0,\infty[ \to [-1,\infty[[/mm] ist
> die Funktion bijektiv,
> ist die Zielmenge "größer", dann nicht.
>
> Erklärst du mir was genau damit gemeint ist?
>
> Ich komm nicht genau darauf was der unterschied ist zu der
> Aussage [mm]x\ge[/mm] 0. Damit ist doch gemeint die Funktion im
> Intervall 0 bis unendlich oder nicht?
Hallo,
für die Surjektivität ist die Zielmenge, also die Menge, der die Funktionswerte entstammen, von Belang.
Surjektiv ist eine Funktion, wenn jedes Element der Zielmenge "getroffen" wird.
Betrachten wir die Funktion
f: [mm] $[0,\infty[ \to [-1,\infty[$ [/mm] mit
[mm] f(x):=x^2-1,
[/mm]
so finden wir zu jedem [mm] y\in [-1,\infty] [/mm] ein [mm] x\in [0,\infty[ [/mm] so, daß f(x)=y.
Jetzt "vergrößern" wir die Zielmenge und betrachten etwa
g: [mm] $[0,\infty[ \to [-5,\infty[$ [/mm] mit
[mm] g(x):=x^2-1.
[/mm]
Diese Funktion ist nicht surjektiv, denn wir finden z.B. kein [mm] x\in [0,\infty[ [/mm] mit g(x)=-3.
Injektiv hingegen sind sowohl f als auch g.
g können wir aufgrund der fehlenden Surjektivität aber nicht umkehren.
Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion wäre ja [mm] [-5,\infty[, [/mm] und wie eben besprochen hätten wir ja kein x vorrätig, welches wir der -5 zuordnen könnten.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Mo 15.10.2012 | | Autor: | DarkJiN |
Alles klar verstanden :)
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich gebe Dir mal eine weitere Aufgabe - sieht fies aus, ist sie aber
eigentlich gar nicht:
Betrachte [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] als Funktion $f: [mm] \big(\;(-\infty,0] \cap \IQ\;\big) \cup \big(\;(0,\infty) \cap (\IR \setminus \IQ)\;\big) \to [0,\infty)\,.$
[/mm]
Frage: Ist [mm] $f\,$ [/mm] injektiv/surjektiv/bijektiv?
P.S.
Ohne Beweis darfst Du benutzen, dass die Wurzel einer reellen Zahl
$p [mm] \ge [/mm] 0$ eindeutig bestimmt ist (sonst wäre die Aufgabe evtl. doch
fies!)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:12 Mi 17.10.2012 | | Autor: | DarkJiN |
interessant.
Werde mich damit beschäftigen wenn ich meine Chemie Klamotten fertig haben ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo DarkJiN,
>
> Also bedeutet injektiv das jedem 2 x-Werte niemals
> "denselben" y-Wert zugeordnet werden? Oder anders: Jeder
> Wert in der Zielmenge kann nur einem Wert in der Bildmenge
> zugeordnet werden?
>
> Sind also nur bijektive Funktionen umkehrbar?
>
> Gut, dass wir hier angekommen sind ich frage nämlich weil
> ich hier eine Aufgabe habe bei der ich entscheiden soll ob
> die Funktion
>
> f(x)= [mm]x^2-1[/mm] für [mm]x\ge0[/mm]
>
> umkehrbar ist. Dafür muss sie dann also injektiv und
> surjektiv sein.
Das ist richtig. Aber wenn wie hier die Zielmenge gar nicht gegeben ist, kann man sie ja so wählen, daß die Funktion surjektiv wird. Auch in dem Fall sagt man, eine Funktion sei umkehrbar.
>
> Injektiv ist sie aber surjektiv?
>
> Ich hab leider keine weiteren Angaben wie die Bildmenge.
>
> "Da muss man erst sagen, was man als Bildmenge bertachtet.
> Wenn man [mm]\IR[/mm] nimmt, ist die Funktion nicht surjektiv. Auf
> dem Intervall [mm][-1;\infty)[/mm] jedoch ist sie es. "
> >
>
>
>
> Moment,wenn ich jetzt alle Infos zusammen nehme, heißt das
> doch das bijektive Funktionen immer monoton Steigend oder
> fallend sein müssen, oder?
Angela hat ja schon ein Gegenbeispiel gebracht. Aber jede auf einem Intervall definierte stetige reelle Funktion ist genau dann injektiv, wenn sie streng monoton ist.
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:45 Mo 15.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Diophant,
> Hallo,
>
> > Ich habe eine Frage zu den oben genannten 3 Begriffen.
>
> Dann schaun mer mal, ob wir sie dir beantworten können.
>
>
> > Injektiv bedeutet doch einfach das jedem y- Wert auch nur
> > ein x-Wert zugeordnet wird, oder?
>
> Es kann sein, dass du das richtig meinst, aber es ist sehr
> missverständlich ausgedrückt. Eine Abbildung f:
> [mm]{X}\mapsto{Y}[/mm] ist injektiv, wenn für [mm]x_1, x_2 \in{X}[/mm]
> stets
>
> [mm]x_1\ne{x_2} \Rightarrow f(x_1)\ne{f(x_2})[/mm]
>
> gilt. Verbal auisgedrückt: zwei verschiedene Elemente des
> Urbilds besitzen stest unterschiedliche Bilder. Deine
> Formulierung ist besonders an der Stelle gefährlich, wo du
> von jedem y-Wert sprichst. Das könnte nämlich
> implizieren, dass jedes [mm]y\in{Y}[/mm] im Bild von X unter f
> liegt, und diese Eigenschaft nennt man Surjektivität.
>
> > Funktionen müssen nicht injektiv sein, können es aber
> > oder?
> >
> > [mm]f(X)=x^2-1[/mm] für [mm]x\ge0[/mm] ist doch injektiv, oder?
>
> Ja, das stimmt.
>
> >
> > [mm]f(X)=x^2-1[/mm] für [mm]x\ge-10[/mm] ist nicht mehr injektiv,richtig?
>
> Das ist falsch. Aber bspw. auf dem Intervall [-1;1] wäre
> sie nicht mehr injektiv.
na, er hat schon recht: $x [mm] \ge [/mm] -10$ bedeutet $x [mm] \in [-10,\infty)\,.$
[/mm]
Und die Funktion [mm] $f(x)=x^2-1$ [/mm] ($x [mm] \ge [/mm] -10$) erfüllt die Nicht-Injektivität:
Es ist doch
[mm] $$f(x_2)=f(1)=1^1-1=0=(-1)^2-1=f(-1)=f(x_1)$$
[/mm]
für [mm] $x_1:=-1\,,$ $x_2:=1\,,$ [/mm] obwohl [mm] $x_1=-1,\;x_2=1$ [/mm] beide [mm] $\ge [/mm] -10$
sind und [mm] $x_1=-1 \not=1=x_2$ [/mm] gilt!
P.S.
Ich habe so eine komische Zahlenkombination aus Deiner Antwort entfernt
- nicht wundern!
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 08:46 Di 16.10.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Marcel,
> > > [mm]f(X)=x^2-1[/mm] für [mm]x\ge-10[/mm] ist nicht mehr injektiv,richtig?
> >
> > Das ist falsch. Aber bspw. auf dem Intervall [-1;1] wäre
> > sie nicht mehr injektiv.
>
> na, er hat schon recht: [mm]x \ge -10[/mm] bedeutet [mm]x \in [-10,\infty)\,.[/mm]
ja, da hast du völlig Recht: ich habe irgendwie beim Lesen die Relation umgekehrt.
> P.S.
> Ich habe so eine komische Zahlenkombination aus Deiner
> Antwort entfernt
> - nicht wundern!
Hm, ich vermisse nichts. Magst du mir einen kleinen Tipp geben?
Grüße & Danke für die Korrektur,
Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft) | | Datum: | 18:37 Di 16.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
>
> > > > [mm]f(X)=x^2-1[/mm] für [mm]x\ge-10[/mm] ist nicht mehr injektiv,richtig?
> > >
> > > Das ist falsch. Aber bspw. auf dem Intervall [-1;1] wäre
> > > sie nicht mehr injektiv.
> >
> > na, er hat schon recht: [mm]x \ge -10[/mm] bedeutet [mm]x \in [-10,\infty)\,.[/mm]
>
> ja, da hast du völlig Recht: ich habe irgendwie beim Lesen
> die Relation umgekehrt.
Du hattest $x [mm] \le [/mm] -10$ gelesen? Ja, sowas passiert schon mal...
> > P.S.
> > Ich habe so eine komische Zahlenkombination aus Deiner
> > Antwort entfernt
> > - nicht wundern!
>
> Hm, ich vermisse nichts. Magst du mir einen kleinen Tipp
> geben?
schau' mal in der Revisionsgeschichte im ältesten Artikel (ob man auf
Quelltext klicken muss, weiß ich nicht, aber ich glaube nicht). Da steht
irgendwo
> $ [mm] x_1\ne{x_2} \Rightarrow f(x_1)\ne{f(x_2})
$
[/mm]
(Klick mal auf die Formel!)
Die $
$ habe ich entfernt, keine Ahnung, wie sie entstanden
sind...
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
