charakteristisches Polynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Paula |
Hey zusammen!
Ich hab da mal eine Frage bezüglich des charakteristischen Polynoms.
Und zwar bin ich der Annahme, daß es sich dabei um das Bild der Matrix der Abb. handelt, aber da bin ich mir auch nicht sicher.
Wir haben zur Zeit Eigenräume und Haupträume. Da verwenden wir statt der Abb. f: V->V (Endomorphismus) nur noch (f-c*Id) mit c ist Eigenwert von f. Und das find ich schon merkwürdig, weil ja dann immer nur aussagen darüber getroffen werden, nicht aber über f.
Vielleicht kann mir da mal jemand den Sinn sagen und mir verraten, ob meine Annahme stimmt.
Viele Grüße und danke im Voraus.
Tschö
Paula
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Mi 23.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Paula!
> Ich hab da mal eine Frage bezüglich des charakteristischen
> Polynoms.
> Und zwar bin ich der Annahme, daß es sich dabei um das
> Bild der Matrix der Abb. handelt, aber da bin ich mir auch
> nicht sicher.
Verstehe ich gerade nicht. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Kannst du die Frage bitte noch einmal präzisieren, falls es eine Frage war?
> Wir haben zur Zeit Eigenräume und Haupträume. Da verwenden
> wir statt der Abb. f: V->V (Endomorphismus) nur noch
> (f-c*Id) mit c ist Eigenwert von f. Und das find ich schon
> merkwürdig, weil ja dann immer nur aussagen darüber
> getroffen werden, nicht aber über f.
Doch, klar werden da auch Aussagen über $f$ gemacht.
In $Kern(f-c*Id)$ liegen doch gerade die Vektoren, die unter $f$ auf das $c$-fache gestreckt/gestaucht werden. Auf diese Weise bekommst du tolle Strukturaussagen über $f$. Du kannst sozusagen den Urbildraum von $f$ unter die Lupe nehmen! Gibt es Teilräume, die invariant sind, sprich wo man durch Anwendung von $f$ niemals herauskommt? Welche Vektoren werden vielleicht sogar auf Vielfache von sich selbst abgebildet? Auf diese Weise machst du gleich zweierlei Aussagen: über $f$ und darüber, wie man mit $f$ den Vektorraum $V$ zerlegen kann. Wenn man das genauer untersucht hat, findet man unter Umständen eine Basis von $f$, bezüglich derer die Matrixdarstellung von $f$ besonders einfach (und damit besonders intuitiv und charakteristisch) ist und anhand derer man viele Eigenschaften von $f$ direkt ablesen kann. Dafür braucht man insbesondere die Kerne [mm] $Kern[(f-c*Id)^n]$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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