charakteristisches Polynom < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:43 Sa 18.05.2013 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Die Matrix A [mm] \in M_5 [/mm] (C) hat das char Poly:
[mm] X_{A}= (X-1)^2 (X-i)^2 (X-1/\wurzel{2}-1/\wurzel{2}i).
[/mm]
a) Kann A hermitsch sein?
b) Kann A unitär sein?
c) Kann A nur reelle Koeffizienten haben?
d) Kann A diagonalisierbar sein? |
Hallo.
Also
a) Nein, denn hermitsche Matrizen haben nur reelle Eigenwerte.
b) Ja, denn alle Eigenwerte haben Betrag 1.
c) Hier weiß ich nit, wie ich argumentieren muss...
d) Mir ist nicht klar, wie ich das nur m.H. der Eigenwerte bestimmen soll, da ich ja nichts über deren geometrische Vielfachheit weiß...
Danke schonmal im Voraus für eure Hilfe!
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moin,
> c) Hier weiß ich nit, wie ich argumentieren muss...
Nimm doch mal an, dass die Matrix nur reelle Einträge besitzt, dass also $A [mm] \in \IR^{5 \times 5}$.
[/mm]
Was weißt du dann über das charakteristische Polynom von $A$ (in seiner ausmultiplizierten Form), was weißt du über die Koeffizienten?
> d) Mir ist nicht klar, wie ich das nur m.H. der Eigenwerte
> bestimmen soll, da ich ja nichts über deren geometrische
> Vielfachheit weiß...
Du sollst ja hier auch nicht eindeutig beweisen oder widerlegen, ob die Matrix diagonalisierbar ist - du sollst nur sagen, ob es prinzipiell möglich ist.
Daher versuch doch einfach mal eine Diagonalmatrix anzugeben, die genau dieses charakteristische Polynom hat. Wenn dir das gelingt so hast du gezeigt, dass es diagonalisierbare Matrizen mit diesem Polynom gibt.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Sa 18.05.2013 | | Autor: | Trikolon |
Danke schonmal!
Also zu c) Da das char Poly in seiner ausmultilplizierten Form immernoch komplexe Koeffizienten besitzt, muss sie auch bei der Matrix der Fall sein.
Zu d) Eine Matrix mit diesem char Poly kann es geben, nämlich die 5x5-Matrix, die die Eigenwerte auf der Diagonalen hat. Diese kann, muss aber nicht diagonalisierbar sein.
Ist das so korrekt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:46 So 19.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke schonmal!
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> Also zu c) Da das char Poly in seiner ausmultilplizierten
> Form immernoch komplexe Koeffizienten besitzt, muss sie
> auch bei der Matrix der Fall sein.
Ja
>
> Zu d) Eine Matrix mit diesem char Poly kann es geben,
> nämlich die 5x5-Matrix, die die Eigenwerte auf der
> Diagonalen hat. Diese kann, muss aber nicht
> diagonalisierbar sein.
Z.B. kannst Du die Matrix so wählen, dass die Eigenwerte auf der Diagonalen hat, sonst aber nur Nullen. Diese Matrix ist diagonalisierbar.
FRED
>
> Ist das so korrekt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Mo 20.05.2013 | | Autor: | Trikolon |
Vielen Dank!
Noch eine Frage habe ich: Ich möchte zeigen, dass A und [mm] A^{T} [/mm] das gleiche Minimalpolynom habe.
Habe bisher gezeigt, dass beide das gleiche charakteristische Polynom haben. Komme dann aber nicht mehr wirklich weiter. Zwar teilt das Minpoly das charPoly , aber trotzdem folgt daraus ja noch nicht das eine Matrix und ihre Transponierte das gleiche Minpoly haben...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Mo 20.05.2013 | | Autor: | fred97 |
Das Minimalpolynom p einer [mm] n\times [/mm] n-Matrix A über einem Körper K ist das normierte Polynom kleinsten Grades mit Koeffizienten in K, so dass p(A)=0.
Nun mußt Du Dir nur noch klar machen, dass für ein Polynom p gilt:
[mm] p(A)^T=p(A^T).
[/mm]
FRED
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