d tief theta v Drehung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1.
A) Zeigen Sie dass [mm] $d_{\theta, v}d_{\phi,v}=d_{\theta + \phi, v}$ [/mm]
B) Seien $v,w$ in [mm] $\IR^{3}$ [/mm] linear unabhängig und $||v||=||w||=1$. Seien [mm] $\theta, [/mm] u$ vorgegeben mit [mm] $d_{\pi, v}d_{\pi,w}=d_{\theta,u}$. [/mm] Bestimmen Sie [mm] $\theta$ [/mm] und $u$. |
Hallo,
bezeichne [mm] $d_{\alpha,v}$ [/mm] die Drehung im Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] um die Gerade v.
Bei
1. Muss man zeigen dass die Anreihung von Drehungen um die gleiche Achse einer Drehung entspricht bei der man die Winkel der beiden Drehung addiert.
Dass sich aus zwei Drehungen wieder eine Drehung ergibt zeigt sich so:
sei [mm] $A:=\psi(d_{\phi, v}), [/mm] B:= [mm] \psi (d_{\theta, v})$
[/mm]
dann ist [mm] $det(\psi(d_{\phi, v} \circ d_{\thetai, v}) [/mm] = [mm] det(\psi(d_{\phi, v}) \circ det(\psi(d_{\theta, v}) [/mm] = [mm] det(\psi(d_{\phi, v}))\cdot det(\psi(d_{\theta, v})) [/mm] = 1 [mm] \cdot [/mm] 1 = 1$
Es gilt für [mm] $d_{\alpha,v}d_{\beta,w}=d_{\theta, u}$
[/mm]
$u [mm] tan(\frac{\theta}{2})= \frac{v tan(\frac{\alpha}{2})+wtan(\frac{\beta}{2})+tan(\frac{\alpha}{2})tan(\frac{\beta}{2})(v\times w)}{1-tan(\frac{\alpha}{2})tan(\frac{\beta}{2})(v\cdot w)}$
[/mm]
setzt man hier v=u=w und formt ein wenig um, dann erhält man [mm] $\theta= \alpha [/mm] + [mm] \beta$ [/mm] !!!
2. Es gilt für [mm] $d_{\pi,v}d_{\pi,w}=d_{\theta, u}$
[/mm]
$u [mm] tan(\frac{\theta}{2})= \frac{v tan(\frac{\alpha}{2})+wtan(\frac{\beta}{2})+tan(\frac{\alpha}{2})tan(\frac{\beta}{2})(v\times w)}{1-tan(\frac{\alpha}{2})tan(\frac{\beta}{2})(v\cdot w)}$
[/mm]
mit [mm] $\pi [/mm] = [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta$ [/mm] folgt :
$u tan [mm] (\frac{\theta}{2})= \frac{v\times w}{v\cdot w}$
[/mm]
damit ist u orthogonal zu v und w und [mm] $tan(\frac{\theta}{2})=tan(\phi)$ [/mm] wobei [mm] $\phi$ [/mm] der Winkel ist der von v und w eingeschlossen wird. Damit ist [mm] $\theta [/mm] = 2 [mm] \phi$ [/mm] und u = [mm] \frac{v \times w}{tan(\frac{\theta}{2})(v \cdot w)}$. [/mm]
Danke
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Mo 06.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Mo 06.06.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo matux
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