de l'Hospital < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Mi 01.06.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Grenzwert mit l'Hospital:
[mm] $\lim_{x \to 0} x^x$ [/mm] |
Ich hab so angefangen:
[mm] $\lim_{x \to 0} x^x [/mm] = [mm] \lim_{x \to 0} e^{x \ln(x)} [/mm] = ...$
Theoretisch würde man ja hier das Ergebnis von 1 gleich sehen, aber ich hab ja den l'Hospital noch gar nicht angewendet. Wie soll man dann hier den l'Hospital anwenden?
|
|
| |
|
> Berechnen Sie den Grenzwert mit l'Hospital:
>
> [mm]\lim_{x \to 0} x^x[/mm]
> Ich hab so angefangen:
>
> [mm]\lim_{x \to 0} x^x = \lim_{x \to 0} e^{x \ln(x)} = ...[/mm]
>
> Theoretisch würde man ja hier das Ergebnis von 1 gleich
> sehen,
Hallo,
ja? Wie siehst Du denn das "theoretisch" so schnell?
Wenn ich da drauf gucke, bin ich in praxi erstmal komplett ratlos!
> aber ich hab ja den l'Hospital noch gar nicht
> angewendet. Wie soll man dann hier den l'Hospital anwenden?
Ich hoffe, daß Dir allmählich aufgeht, daß die Berechnung des Grenzwertes von x*ln(x) nicht so einfach ist. Immerhin haben wir es hier mit [mm] "0*(-\infty)" [/mm] zu tun.
Tip: [mm] x=\bruch{1}{\bruch{1}{x}} [/mm] ...
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Mi 01.06.2011 | | Autor: | bandchef |
Zitat: "Ich hoffe, daß Dir allmählich aufgeht,..."
Das fand ich ja schon mal nicht so nett von dir... Aber gut.
Ich hab's dann mal so probiert:
[mm] $\lim_{x \to 0} x^x [/mm] = [mm] \lim_{x \to 0} e^{x \ln(x)} [/mm] = [mm] \lim_{x \to 0} e^{\frac{ln(x)}{\frac{1}{x}}} [/mm] = ...$
Jetzt kann ich aber l'Hospital wieder nicht anwenden...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Mi 01.06.2011 | | Autor: | abakus |
> Zitat: "Ich hoffe, daß Dir allmählich aufgeht,..."
>
> Das fand ich ja schon mal nicht so nett von dir... Aber
> gut.
>
>
> Ich hab's dann mal so probiert:
>
> [mm]\lim_{x \to 0} x^x = \lim_{x \to 0} e^{x \ln(x)} = \lim_{x \to 0} e^{\frac{ln(x)}{\frac{1}{x}}} = ...[/mm]
>
> Jetzt kann ich aber l'Hospital wieder nicht anwenden...
Für den Exponenten schon. Da hast du den Fall [mm] \bruch{-\infty}{\infty}.
[/mm]
Gruß Abakus
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Mi 01.06.2011 | | Autor: | bandchef |
Wenn ich nun den l'H nur auf den Exponenten anwende, dann komm ich nun auf:
$... = [mm] e^{-x}$ [/mm] Soweit richtig?
|
|
|
| |
|
> Wenn ich nun den l'H nur auf den Exponenten anwende, dann
> komm ich nun auf:
>
> [mm]... = e^{-x}[/mm] Soweit richtig?
Hallo,
Du meinst es richtig:
es ist [mm] \lim_{x\to 0}\bruch{ln(x)}{\bruch{1}{x}}=\lim_{x\to 0}(-x).
[/mm]
Darüber, warum Du den Limes "in den Exponenten ziehen" darfst, warum also [mm] \lim e^{x*ln(x)}=e^{\lim(x*ln(x))} [/mm] wäre auch evtl. noch kurz nachzudenken.
(Ob angehende Informatiker dies tun müsen, weiß ich nicht genau. )
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
> Zitat: "Ich hoffe, daß Dir allmählich aufgeht,..."
>
> Das fand ich ja schon mal nicht so nett von dir... Aber
> gut.
Hallo,
das war eigentlich nicht unnett gemeint.
Ich hatte die Vermutung, Du würdest denken, daß [mm] "0*\infty" [/mm] immer =0 ist, was mitnichten der Fall ist.
Nachdenken über [mm] "0*\infty" [/mm] ist recht lohnend, denn verschiedenste Ergebnisse sind denkbar.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
