dreiseitige Pyramide < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Do 09.09.2004 | | Autor: | Eirene |
Die Aufgabe lautet: in einer dreiseitigen Pyramide mit der Grundfläche ABC und der Spitze S ist: a= OA, b= OB, c= OC (alles Vektoren)
Die Punkte E, F, G, K halbieren der Reihe nach die Strecken (AB) (BC) (AC) (AO). S sei der Schwerpunkt des Dreiecks ABC
Drücken sie (vektoren) AB, CK, OE, EG, KS, SO durch verktoren a, b, c aus.
Die Aufgabe verstehe ich nicht, z.B 2 Satz: wo ist denn in dieser Pyramide Punkt O wie z.B a=OA....
kann mir jemand einpaar tipps geben???
danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Do 09.09.2004 | | Autor: | b-tux |
Hallo Eirene
Deine Punkte $A$, $B$ und $C$ liegen irgendwo im Raum und $O$ ist wohl der Ursprung des Koordinatensystems. Damit wird [mm] $\vec [/mm] a$ zum Vektor der vom Koordinatenursprung zum Punkt $A$ geht.
Als nächstes denke ich, dass die Pyramide "ausgeartet" ist, also eigentlich keine richtige Pyramide ist. Weil $S$ der Schwerpunkt des Dreiecks $ABC$ ist, muss $S$ in der gleichen Ebene wie $A$, $B$ und $C$ liegen und damit hat die Pyramide die Höhe null. Das ist aber für die Aufgabe auch gut so, weil der Schwerpunkt im Schnittpunkt der Geraden von einer Ecke des Dreiecks zur gegenüberliegenden Seitenmitte liegt. Ausserdem werden diese Geraden im Schwerpunkt im Verhältnis 1:2 geteilt (d.h. [mm]\overline{SA}:\overline{SF}=2:1[/mm], analog für die anderen Seiten). Damit ergibt sich für den Schwerpunkt $S$ [mm]\vec s = \frac{1}{3} \left( \vec a + \vec b +\vec c \right) [/mm].
Damit sollte es nun möglich sein alle Vektoren nur durch [mm] $\vec [/mm] a$, [mm] $\vec [/mm] b$ und [mm] $\vec [/mm] c$ ausdrücken zu können.
Hoffe das war verständlich.
Gruss
b-tux
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Diese "Pyramide" ist keine, wenn die Angaben stimmen, da S ja in der Ebene des 3ecks ABC liegt.
Der
Punkt O kann allerdings ein belieger sein
und es gelten
S = SO = (a+b+c)/3, E = (a+b)/2, F = (b+c)/2, G = (a+c)/2, K = a/2
AB = b-a, CK = K-C, = a/2 - c, OE = E = ..., EG = G - E = .. , KS = S - K = ...
anstelle der Punkte setzte aus der Zeile darüber ein und vereinfache gegebenenfalls.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:03 Fr 10.09.2004 | | Autor: | b-tux |
Natürlich kann $O$ beliebig gewählt werden. Aber ich kann o.B.d.A. sagen $O$ sei der Koordinatenursprung; wenn er es nicht ist, verschiebe ich das gesamte Koordinatensystem, so dass $O$ zum Ursprung wird.
Wenn $O$ allerdings nicht der Koordinatenursprung ist, ist [mm] $\frac{1}{3}\left( \vec a + \vec b + \vec c \right) =\vec [/mm] s [mm] \not= \overline{SO}=\vec [/mm] o [mm] -\vec [/mm] s$
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