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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 22:56 Mo 02.02.2009 | | Autor: | informix |
| Aufgabe | Zu jedem $k > 0_$ ist eine Funktion $ [mm] f_k [/mm] $ gegeben durch
$ [mm] f_k(t)=80\cdot{}e^{k\cdot{}t}-\frac{1}{3}\cdot{}e^{2k\cdot{}t}=80\cdot{}e^{k\cdot{}t}-\frac{1}{3}\cdot{}\left(e^{k\cdot{}t}\right)^2 [/mm] $ ; $ [mm] t\in \IR [/mm] $.
a. Bestimmen Sie die Schnittpunkte mit der t-Achse, die Hoch-, Tief- und Wendepunkte sowie die Asymptoten des Graphen von $ [mm] f_k. [/mm] $
b. Begründen Sie, dass der folgende Graph zu $ [mm] f_{0,5} [/mm] $ gehört.
[Dateianhang nicht öffentlich]
c. Die t-Achse und der Graph von $ [mm] f_k [/mm] $ begrenzen eine bis ins Unendliche reichende Fläche.
Berechnen Sie die Gleichung der zur t-Achse senkrechten Geraden g, die diese
Fläche in zwei Teilflächen einteilt, sodass der Inhalt der linken Teilfläche dreimal so groß ist wie der Inhalt der rechten Teilfläche.
d. Der Graph von $ [mm] f_{0,5} [/mm] $ (siehe Aufgabenteil b) zeigt den Verlauf einer Schädlingspopulation in einem Wald während der Bekämpfung mit einem Pestizid, beginnend bei $ [mm] t_1 [/mm] $ = 0 und endend zu der Zeit $ [mm] t_2 [/mm] $ , ab der keine Schädlinge im Wald mehr vorhanden sind.
Dabei gilt Folgendes:
1 Einheit der Funktionswerte $ [mm] \hat= [/mm] $ 1000 Schädlinge
1 Einheit der t-Werte $ [mm] \hat= [/mm] $ 1 Tag
d1. Beschreiben Sie kurz den Verlauf der Population im Intervall $ [mm] [t_1;t_2]. [/mm] $ Gehen Sie dabei auf die Größe und auf die Wachstumsgeschwindigkeit der Schädlingspopulation ein.
d2. 18 Stunden bevor die Population am stärksten wuchs, wurde das Pestizid über dem Wald versprüht. Bestimmen Sie den Zeitpunkt und die Anzahl der Schädlinge zu diesem Zeitpunkt.
d3. Jeder Schädling vertilgt pro Tag $ 3 [mm] cm^2 [/mm] $ Blattfläche. Wie viel Blattfläche wurde von den Schädlingen insgesamt gefressen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:50 So 12.04.2009 | | Autor: | DrNetwork |
[mm] N\left(\frac{ln240}{k}|0\right)
[/mm]
[mm] E\left(\frac{ln120}{k}|4800\right) [/mm] Max. da. k>0 ^ [mm] f_k''\left(\frac{ln120}{k}\right)<0
[/mm]
[mm] W\left(\frac{ln60}{k}|3600\right)
[/mm]
b) prüf ich die Werte aus a)
c) [mm] a_1=\frac{ln360}{k}
[/mm]
[mm] a_2=\frac{ln120}{k}
[/mm]
da Nullstelle bei ln240/k
streichen wir [mm] a_1 [/mm] bzw. gilt [mm] a_2
[/mm]
d) Bei [mm] t_1=0, [/mm] also dem ersten Tag sind 79 600 Schädlinge im Wald vorhanden, ab nun steigt die Population schnell an bis zum 8 Tag (t=8.18) ab da an verringert sich die Geschwindigkeit setigt aber weiter bis zum Maximum am 9 Tag (t=9.57) an. Es sind nun 4.8 Mio Schädlinge im Wald. Ab jetzt fällt die Population rapide bis zum Ende des 10. Tages sind keine SChädlinge mehr vorhanden.
e) t=7.43, Anzahl d. Sch. 2.72 Mio.
f) Blattfläche = 57 600 [mm] cm^3
[/mm]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Mi 29.04.2009 | | Autor: | moody |
Hallo,
ich habe leider keinen Ansatz zur Asymptote. Nullstellen und Hoch-/Tief- und Wendepunkte kann ich bis hierher aber bestätigen.
Ich hoffe ihr könnt mir auf die Sprünge helfen.
lg moody
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Mi 29.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> ich habe leider keinen Ansatz zur Asymptote. Nullstellen
> und Hoch-/Tief- und Wendepunkte kann ich bis hierher aber
> bestätigen.
>
> Ich hoffe ihr könnt mir auf die Sprünge helfen.
>
> lg moody
Hallo,
du siehst doch im Graphen der Beispielfunktion, dass er sich der negativen t-Achse annähert.
Bilde also mal den Grenzwert für t gegen "minus unendlich".
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:32 Mi 29.04.2009 | | Autor: | moody |
Vielen Dank, abakus!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Mi 29.04.2009 | | Autor: | moody |
Bei Aufgabe c) komme ich ebenfalls nicht weiter.
Mein Ansatz ist das ich erstmal die Fläche von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] \bruch{ln240}{k} [/mm] bestimmen möchte.
Dazu bilde ich die Stammfunktion [mm] $F_k [/mm] (t) = [mm] \bruch{80}{k}e^{kt} [/mm] - [mm] \bruch{1}{6k}e^{2kt}$
[/mm]
Dann habe ich [mm] -\infty [/mm] und [mm] \bruch{ln240}{k} [/mm] eingesetzt.
Für den Teil mit [mm] \bruch{ln240}{k} [/mm] bekam ich [mm] \bruch{19180}{k} [/mm] heraus und für den Teil mit [mm] -\infty [/mm] kam $0$ heraus.
Stimmt das soweit und muss ich jetzt ausrechnen für welches g der rechte Teil die Fläche von [mm] \bruch{ln4975}{k} [/mm] einschließt? (( 1/4 von der ganzen Fläche )).
lg moody
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Hallo!
> Für den Teil mit [mm]\bruch{ln240}{k}[/mm] bekam ich
> [mm]\bruch{19180}{k}[/mm] heraus und für den Teil mit [mm]-\infty[/mm] kam [mm]0[/mm]
> heraus.
Ich komme beim Einsetzen der oberen Grenze auf [mm] \bruch{9600}{k}:
[/mm]
[mm] $\left[\bruch{80}{k}*e^{k*t} - \bruch{1}{6*k}*e^{2*k*t}\right]_{-\infty}^{\bruch{\ln(240)}{k}} [/mm] = [mm] \left(\bruch{80}{k}*240 - \bruch{1}{6*k}*240^{2}\right)-0 [/mm] = [mm] \bruch{9600}{k}$
[/mm]
Grundsätzlich wäre dein weiteres Vorgehen aber richtig, du musst das nun durch 4 teilen, also muss das Integral von g bis [mm] \bruch{\ln(240)}{k} [/mm] dann [mm] \bruch{2400}{x} [/mm] ergeben.
Viele Grüße, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 Mo 04.05.2009 | | Autor: | moody |
Okay vielen Dank!
Habe meine Abiturklausur ja jetzt überstanden 
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