ebene aus zwei geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | g:X= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \lambda \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \\ -12 \end{pmatrix} [/mm]
f:X= [mm] \begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \mu \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -9 \end{pmatrix} [/mm]
bestimme eine parametergleichung der ebene E, die g enthält und parallel ist zu f |
lösung müsste sein:
X= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \alpha \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \beta \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}
[/mm]
wenn die ebene g enthalten soll, kann man ja schon mal den aufpunkt von b verwenden, oder? aber wie komm ich auf den rest?
anscheinend wurden beide richtungsvektoren subtrahiert, aber wofür? welches system steckt da dahinter?
ich weiß nie, welche vektoren man wie und wann verbinden muss, um das richtige rauszubekommen...
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Hallo Erika!
> g:X= [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\lambda \begin{pmatrix} -8 \\ -4 \\ -12 \end{pmatrix}[/mm]
> f:X= [mm]\begin{pmatrix} 7 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\mu \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -9 \end{pmatrix}[/mm]
> bestimme eine parametergleichung der ebene E, die g enthält
> und parallel ist zu f
> lösung müsste sein:
> X= [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 7 \end{pmatrix}[/mm] + [mm]\alpha \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
> + [mm]\beta \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}[/mm]
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> wenn die ebene g enthalten soll, kann man ja schon mal den
> aufpunkt von b verwenden, oder? aber wie komm ich auf den
> rest?
> anscheinend wurden beide richtungsvektoren subtrahiert,
> aber wofür? welches system steckt da dahinter?
> ich weiß nie, welche vektoren man wie und wann verbinden
> muss, um das richtige rauszubekommen...
>
Die Lösung ist denkbar einfach. Wie du schon gesagt hast, kann man als Stützvektor den Aufpunkt von gerade g nehmen. Man kann sogar noch weiter gehen und die gesamte Geradengleichung von g für die Ebenengleichung ansetzen, da ge ja vollstndig in der Ebene E liegen soll.
Da die Ebene nun auch parallel zur Geraden f verlaufen soll muss der zweite Richtungsvektor der Ebene zum Richtungsvektor der Geraden f parallel liegen, sprich: der zweite Richtungsvektor der Ebene muss kollinear zum Richtungsvektor der Geraden f liegen, oder noch einfacher: der zweite Richtungsvektor der Ebene ist der Richtungsvektor der Geraden f.
Damit ergibt sich folgende Ebenengleichung:
[mm]E: \overrightarrow{x}=\underbrace{\vektor{1 \\ -2 \\7}+r*\vektor{-8 \\ -4 \\ -12}}_{Gerade-g}+\underbrace{s*\vektor{6 \\ 3 \\ -9}}_{Richtungsvektor-von-Gerade-f}=\vektor{1 \\ -2 \\7}+r*\vektor{-8 \\ -4 \\ -12}+s*\vektor{6 \\ 3 \\ -9}[/mm]
Bei deiner Musterlösung wurden nun noch die Richtungsvektoren gekürzt (der eine mit -4, der andere mit 3), was aber nicht nötig wäre. Das hat man sicher nur gemacht um euch zu verwirren. Für die genannte Aufgabenstellung wäre die Lösung, so wie ich sie angegeben habe, vollkommen ausreichend. Wenn du aber mit der Ebene weiterrechnen müsstest, dann wäre es vorteilhaft, aber nicht zwingend notwendig, wenn die Richtungsvektoren gekürzt wären, da man dann mit kleineren Zahlen weiterrechnen kann.
Gruß,
Tommy
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