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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Di 02.06.2009 | | Autor: | idonnow |
| Aufgabe | Sei A= [mm] \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
a)Berechnen Sie die Eigenwerte [mm] \lambda 1,\lambda [/mm] 2 und Eigenvektoren von A
b)Überprüfen Sie die Eigenwerte, indem Sie kontrollieren, ob det [mm] A=\lambda 1*\lambda [/mm] 2 und tr A= [mm] \lambda [/mm] 1 [mm] +\lambda [/mm] 2 gelten. |
Hallo Ihr Lieben! Ich habe soeit die Eigenwerte berechnet: 1,62 und -0,62
Um die Eigenvektoren zu berechnen, bin ich so vorgegangen:
\ lambda1=1,62 [mm] \begin{pmatrix}
1 & 1 \
1 & 0\end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix} [/mm] *x=0
[mm] \begin{pmatrix}
3,24 & 1,62 \\
1,62 & 1,62
\end{pmatrix}
[/mm]
dann die Gleichung:
3,24x1+1,62x2=0
1,62x1+1,62x2=0 ?????
Ich weiß nicht mehr weiter und das mit der Spur habe ich noch nie berechnet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:57 Di 02.06.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
die Eigenwerte [mm] \lambda_1\approx{1,62} [/mm] und [mm] \lambda_2\approx{-0,62} [/mm] hast du richtig berechnet.
Im nächsten Schritt musst du also die Eigenvektoren zu den beiden Eigenwerten berechnen.
Leider ist die Darstellung deiner Formeln nicht korrekt, sodass ich deinen Rechenweg nicht richtig nachvollziehen kann. Was du allerdings machen musst, ist zum Einen
[mm] Kern(\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }-\lambda_1*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 })=:v_1,
[/mm]
und zum Zweiten
[mm] Kern(\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }-\lambda_2*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 })=:v_2
[/mm]
bestimmen. Auf diese Weise erhälst du deine Eigenvektoren.
Was hat es mit mit der Berechnung von tr (Spur) und det auf sich? - Mit der Berechnung der Eigenwerte und der dazugehörigen Eigenvektoren findest du eine invertierbare Matrix [mm] S=(v_1,v_2) [/mm] (aus Eigenvektoren), sodass
[mm] D=\pmat{ \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 }=S^{-1}*\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }*S
[/mm]
Das heißt nach Definition, Matrix D und A sind ähnlich. Ähnliche Matrizen haben unter anderem dieselbe Spur (tr) und dieselbe Determinante. Wenn du diese Eigenschaft prüfst, erhälst du
[mm] tr(A)=tr\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 0 }=1+0=1
[/mm]
[mm] tr(D)=tr\pmat{ \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 }=tr\pmat{1,62 & 0 \\ 0 & -0,62 }=1,62+(-0,62)=1
[/mm]
Ergo: [mm] tr(A)=\lambda_1+\lambda_2=1
[/mm]
Ob auch die Determinante identisch ist, kannst du ganz leicht prüfen. Hier kann es aber, aufgrund des Rundens der Eigenwerte, zu einer kleinen Abweichung kommen.
Gruß barsch
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