einfache Extremwertaufgabe < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Di 09.09.2008 | | Autor: | Naria |
| Aufgabe | | Ein Draht der Länge 20cm soll eine rechteckige Fläche mit möglichst großem Inhalt umrahmen. |
so, wir haben gerade mit Extremwertaufgaben angefangen und ich verstehe nur Bahnhof :)
Schon bei der leichtesten Aufgabe scheitert es und ich bräuchte einfach mal einen kleinen Denkanstoß..Also es reicht, wenn man mir die haupt- und nebenbedingung bitte mal mitteilen koennte..
Nachdem ich die letzten beide Tage dieses Forum durchforstet habe in der Hoffnung, dass eine solche Aufgabe schonmal irgendwo vorkommt verfasse ich nun halt eben selber einen Thread ..
Naja die Aufgabe ist wahrscheinlich zuuuu einfach für mich *g*
Grüße Naria
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ein Draht der Länge 20cm soll eine rechteckige Fläche mit
> möglichst großem Inhalt umrahmen.
> so, wir haben gerade mit Extremwertaufgaben angefangen und
> ich verstehe nur Bahnhof :)
> Schon bei der leichtesten Aufgabe scheitert es und ich
> bräuchte einfach mal einen kleinen Denkanstoß..Also es
> reicht, wenn man mir die haupt- und nebenbedingung bitte
> mal mitteilen koennte..
> Nachdem ich die letzten beide Tage dieses Forum
> durchforstet habe in der Hoffnung, dass eine solche Aufgabe
> schonmal irgendwo vorkommt verfasse ich nun halt eben
> selber einen Thread ..
> Naja die Aufgabe ist wahrscheinlich zuuuu einfach für mich
> *g*
Beginne einfach einmal damit, die gesuchte rechteckige Fläche durch geeignet benannte Parameter zu beschreiben. Etwa $a,b$ für die beiden Seitenlängen. Die Grösse, die es zu maximieren gilt, wäre dann der (von diesen beiden Seitenlängen abhängige) Flächeninhalt
[mm]A(a,b)=a\cdot b[/mm]
Wenn $a$ und $b$ keinen zusätzlichen Einschränkungen unterliegen würden, könnte man diese Grösse natürlich beliebig gross machen. Nun muss aber der Umfang dieser Rechtecksfläche gleich 20 (cm) sein. $a$ und $b$ müssen also folgende Nebenbedingung erfüllen:
[mm]2(a+b)=20[/mm]
Zudem muss natürlich [mm] $a,b\geq [/mm] 0$ gelten.
Damit ist das Extremwertproblem "mathematisiert". Der nächste Schritt wäre das Lösen dieser Mathematisierung. Dazu kannst Du z.B. zuerst die Nebenbedingung nach $b$ auflösen. Ergibt $b=10-a$. Einsetzen dieses Wertes für $b$ in $A(a,b)$ ergibt nun den Flächeninhalt als Funktion von $a$ alleine ("Zielfunktion"):
[mm]A(a)=a\cdot (10-a)[/mm]
Um die absolute Maximalstelle dieser Funktion zu bestimmen, benötigt man noch nicht einmal Differenzialrechnung, denn es handelt sich beim Graphen von $A(a)$ offenbar um eine nach unten geöffnete Parabel. Bestimmen der $a$-Koordinate des Scheitelpunktes genügt also. Hast Du diesen Wert von $a$ bestimmt, kannst Du wegen $b=10-a$ den zugehörigen Wert von $b$ leicht ebenfalls bestimmen.
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