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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:59 Sa 16.06.2012 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | Es seien R ein euklidscher Ring, M ein endlich erzeugter R-Modul und N [mm] \subseteq [/mm] M ein R-Untermodul.
a) Zeigen Sie, dass $M/N$ ein endlich erzeugter R-Modul ist.
b) Es seien [mm] x_1, \ldots ,x_s \in [/mm] M, so dass [mm] \bar{x_1}, \ldots ,\bar{x_s} \in$M/N$ [/mm] linear unabhängig sind. Zeigen Sie, dass [mm] Lin(x_1, \ldots ,x_n) \subseteq [/mm] M ein freier Untermodul ist und dass [mm] $Lin(x_1, \ldots ,x_s) \cap [/mm] N = [mm] \{0\}$ [/mm] gilt.
c) Zeigen Sie, dass für $M/N$ = [mm] Lin(\bar{x_1}, \ldots ,\bar{x_t}) [/mm] gilt: M = N + [mm] Lin(x_1, \ldots ,x_t). [/mm] |
Hallo,
Bei der a) könnte man das doch ganz einfach lösen, indem man, einen Beweisschritt eines Korollars benutzend, schreibt: Da M endl.-erz. ist, gibt es ein [mm] Lin(m_1,\ldots,m_n)=M, [/mm] dann ist [mm] M/M_t=Lin(\bar{m_1},\ldots,\bar{m_n}). $M_t$ [/mm] ist der Torsionsuntermodul von M, also ist M modulo einem Untermodul endl.-erz., also auch $M/N$.
Mit dem anderen [mm] $Lin()_{}$ [/mm] Zeug komme ich noch nicht zurecht. Woher kommt bei b) z.B. das n, gilt $n [mm] \le [/mm] s$ ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:13 So 17.06.2012 | | Autor: | triad |
kann ich das bei der a) so machen oder gilt das nur für [mm] M_t [/mm] ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mo 18.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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