endliche Ordnung,ausrechnen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei G eine Gruppe und a [mm] \in [/mm] G habe endliche Ordnung m. Dann gilt
[mm] ord(a^k) [/mm] = [mm] \frac{m}{ggT(m,k)}
[/mm]
Achja: ist G eine Gruppe und a [mm] \in [/mm] G , so definiert man die Ordnung ord(a) von a als die Ordnung von <a> , d.h. ord(a) = |<a>|
Betrachte [mm] \IZ_9^{\*} [/mm] = [mm] \{\overline{1},\overline{2},\overline{4},\overline{5},\overline{7},\overline{8}\}
[/mm]
Nun ist mittels der Formel oben [mm] ord(\overline{i}) [/mm] für i=2,4,5,7,8 zu bestimmen |
Was wähle ich nun als a für die Formel oben?
In der Vorlesung haben wir begonnen mit: Wir wissen [mm] ord(\overline{2}) [/mm] = 6
Und nach der Formel folgt dann [mm] ord(\overline{4})=ord(\overline{2}^2)= [/mm] 6/ggt(6,2)=3
usw.
meine Frage wieso haben wir gerade mit 2 begonnen? Hätte man nicht genauso auch 5 nehmen können. Da 5 und 2 Primitivwurzeln sind, also ganz [mm] \IZ_9^{\*} [/mm] aufspannen?
Oder geht es darum gar nicht?
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Mo 15.10.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
> Sei G eine Gruppe und a [mm]\in[/mm] G habe endliche Ordnung m. Dann
> gilt
> [mm]ord(a^k)[/mm] = [mm]\frac{m}{ggT(m,k)}[/mm]
> Achja: ist G eine Gruppe und a [mm]\in[/mm] G , so definiert man
> die Ordnung ord(a) von a als die Ordnung von <a> , d.h.
> ord(a) = |<a>|
>
> Betrachte [mm]\IZ_9^{\*}[/mm] =
> [mm]\{\overline{1},\overline{2},\overline{4},\overline{5},\overline{7},\overline{8}\}[/mm]
> Nun ist mittels der Formel oben [mm]ord(\overline{i})[/mm] für
> i=2,4,5,7,8 zu bestimmen
> Was wähle ich nun als a für die Formel oben?
> In der Vorlesung haben wir begonnen mit: Wir wissen
> [mm]ord(\overline{2})[/mm] = 6
> Und nach der Formel folgt dann
> [mm]ord(\overline{4})=ord(\overline{2}^2)=[/mm] 6/ggt(6,2)=3
> usw.
> meine Frage wieso haben wir gerade mit 2 begonnen? Hätte
> man nicht genauso auch 5 nehmen können. Da 5 und 2
> Primitivwurzeln sind, also ganz [mm]\IZ_9^{\*}[/mm] aufspannen?
> Oder geht es darum gar nicht?
[mm]\IZ_9^{\*}[/mm] ist doch die Einheitengruppe von [mm] \IZ_9, [/mm] d.h. alle Elemente sind Einheiten, d.h. alle Elemente erzeugen die gesamte Gruppe [mm] \IZ_9. [/mm] D.h. du kannst da für das Beispiel alle Elemente hernehmen.
Du musst das aber allgemein zeigen. Das Beispiel soll das ja nur illustrieren... D.h. das "a" ist einfach ein Element der Gruppe mit Ordnung m.
Grüße
Edit: Weiß jetzt nich was ich falsch gemacht habe, aber eigentlich sollte das ne Antwort werden und keine Frage...
Erledigt (Mod. Marcel!)
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:36 Mo 15.10.2012 | | Autor: | hippias |
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> [mm]\IZ_9^{\*}[/mm] ist doch die Einheitengruppe von [mm]\IZ_9,[/mm] d.h.
> alle Elemente sind Einheiten, d.h. alle Elemente erzeugen
> die gesamte Gruppe [mm]\IZ_9.[/mm] D.h. du kannst da für das
> Beispiel alle Elemente hernehmen.
Das stimmt nicht: Nicht alle primen Restklassen erzeugen die multiplikative Gruppe der primen Restklassen. Benutzt man einen Erzeuger, dann wird die Ordnungsermittlung aber dank der Formel besonders einfach, denn dann laesst sich jedes Element als [mm] $a^{k}$ [/mm] darstellen und die Formel ist anwendbar.
>
> Du musst das aber allgemein zeigen. Das Beispiel soll das
> ja nur illustrieren... D.h. das "a" ist einfach ein Element
> der Gruppe mit Ordnung m.
>
> Grüße
>
> Edit: Weiß jetzt nich was ich falsch gemacht habe, aber
> eigentlich sollte das ne Antwort werden und keine Frage...
> Erledigt (Mod. Marcel!)
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Muss ich nicht doch eine Primitivwurzel nehmen, sonst lassen sich die anderen Elemente ja nicht durch das eine a darstellen..
LG
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Ja, um den Satz zu verwenden brauchst du eine Primitivwurzel.
Wie du ganz richtig festgestellt hast sind das in deiner Gruppe gerade die 2 und die 5. Der Grund, warum die 2 genommen wurde, ist ganz einfach der, dass die Potenzen von 2 sich schöner berechnen lassen.
Du hast in [mm] $\IZ_9:$ $2^2=4$, $2^3 [/mm] = 8 [mm] \equiv [/mm] -1$, [mm] $2^4 \equiv [/mm] -2 [mm] \equiv [/mm] 7$, [mm] $2^5 \equiv [/mm] -4 [mm] \equiv [/mm] 5$, [mm] $2^6 \equiv [/mm] 10 [mm] \equiv [/mm] 1$.
Vergleichen wir das mit den Potenzen von 5:
[mm] $5^2 [/mm] = 25 [mm] \equiv [/mm] 7$, [mm] $5^3 \equiv [/mm] 7*5 = 35 [mm] \equiv [/mm] 8$, [mm] $5^4 \equiv [/mm] 5*8 = 40 [mm] \equiv [/mm] 4$,...
Wie du sieht werden die Zahlen hier deutlich größer.
Auch wenn du das mit geschickten Reduktionen zwischen 0 und 50 halten kannst, ist es doch sinnvoller und meist schöner mit kleineren, leichter zu handhabenden Zahlen zu rechnen.
Abgesehen von diesem Grund gibt es aber keinen theoretischen Hintergrund, der die 2 besser machen würde als die 5.
Als Primitivwurzlen erfüllen sie beide die Bedingungen für deine Formel; es ist nur eine Frage des Geschmacks mit welcher du bzw. in der Vorlesung der Prof lieber rechnet.
lg
Schadow
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Sa 20.10.2012 | | Autor: | theresetom |
Okay, nun ist es klar.
Vielen lieben Dank!
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