exponentialverteilt, schätzer < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:28 Mi 30.05.2007 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | [mm] P_{\theta} [/mm] seien die Exponentialverteilungen zu den Parametern [mm] \theta \in [/mm] (0, [mm] \infty) [/mm] und [mm] (X^n, A^n,P_{\theta}^n) [/mm] das Produktmodell mit den Koordinatenabbildungen [mm] X_k: X^n \rightarrow [/mm] X .
nun soll man zeigen, dass
(a) Y: [mm] X^n \rightarrow (0,\infty), Y:=min\{X_1,...,X_n\} [/mm]
unter [mm] P_{\theta}^n [/mm] exponentialverteilt ist zum Parameter n [mm] \theta [/mm] .
(b) T:=nY ein erwartungstreuer Schätzer für [mm] \theta \rightarrow E_{\theta}^n[X_1] [/mm] ist. |
Guten Abend!
hab noch eine Frage. Hab zu dieser Aufgabe folgendes:
[mm] P_{\theta}(\min\{X_1,...,x_n\}\geq [/mm] y)= [mm] P(X_1 >y,...,X_n>y) [/mm]
= [mm] P_{\theta}(X_1>y) [/mm] ... [mm] P_{\theta}(X_n>y)
[/mm]
= [mm] 1-(1-e^{-\theta y}) ....1-(1-e^{-\theta y})= e^{-n \theta y} [/mm]
was hab ich falsch gemacht?
denn laut aufgabe soll [mm] P_{\theta} [/mm] ja wieder exp verteilt sein, d.h. es müsste doch 1-exp(...)rauskommen, oder?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:28 Mi 30.05.2007 | | Autor: | luis52 |
> hab noch eine Frage. Hab zu dieser Aufgabe folgendes:
> [mm]P_{\theta}(\min\{X_1,...,x_n\}\geq[/mm] y)= [mm]P(X_1 >y,...,X_n>y)[/mm]
>
> = [mm]P_{\theta}(X_1>y)[/mm] ... [mm]P_{\theta}(X_n>y)[/mm]
>
> = [mm]1-(1-e^{-\theta y}) ....1-(1-e^{-\theta y})= e^{-n \theta y}[/mm]
>
> was hab ich falsch gemacht?
>
> denn laut aufgabe soll [mm]P_{\theta}[/mm] ja wieder exp verteilt
> sein, d.h. es müsste doch 1-exp(...)rauskommen, oder?
Moin Riley,
alles wird gut: Bezeichnet [mm] $G(y)=P(Y\le [/mm] y)$ die Verteilungsfunktion von
[mm] $Y=\min\{X_1,...,X_n\}$, [/mm] so hast du $1-G(y)$ berechnet.
lg
Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Mi 30.05.2007 | | Autor: | Riley |
Morgen Luis,
> alles wird gut:
das beruhigt mich ja etwas =))
d.h. G(y) = 1 - P(Y [mm] \leq [/mm] y) ? Wie kann ich das denn von Anfang an richtig aufschreiben? weil ich hab gedacht wegen P(X>y) muss ich 1-... nehmen?
und hast du mir noch einen Tipp zur (b) wie ich hier weiterkomme:
E[T] = E[nY] = n [mm] E[\min\{X_1,...,X_n\}] [/mm] ... ??
ich weiß nur dass der Ewartungswert einer exp.vert.ZVe [mm] \frac{1}{\lambda} [/mm] ist, aber was muss ich mit dem min machen...??
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Mi 30.05.2007 | | Autor: | luis52 |
> Morgen Luis,
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> > alles wird gut:
> das beruhigt mich ja etwas =))
>
> d.h. G(y) = 1 - P(Y [mm]\leq[/mm] y) ?
Nein, die Verteilungsfunktion ist gegeben durch [mm] $G(y)=P(Y\le [/mm] y)=1-P(Y>n)$.
Und $P(Y>y)$ hast du berechnet.
> und hast du mir noch einen Tipp zur (b) wie ich hier
> weiterkomme:
> E[T] = E[nY] = n [mm]E[\min\{X_1,...,X_n\}][/mm] ... ??
>
> ich weiß nur dass der Ewartungswert einer exp.vert.ZVe
> [mm]\frac{1}{\lambda}[/mm] ist, aber was muss ich mit dem min
> machen...??
Leider kann auch ich das nicht nachweisen, denn ich meine, dass $nY$
nicht fuer [mm] $\theta$, [/mm] sondern fuer [mm] $1/\theta$ [/mm] erwartungstreu ist. Mein
Argument ist wie folgt: Wir wissen, dass $Y$ exponentialverteilt ist
mit Parameter [mm] $\lambda=n\theta$. [/mm] Der Erwartungswert der
Exponentialverteilung ist [mm] $1/\lambda$. [/mm] Also ist
[mm] $\mbox{E}[nY]=n/\lambda=n/(n\theta)=1/\theta$.
[/mm]
lg
Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Mi 30.05.2007 | | Autor: | Riley |
Guten Abend Luis,
vielen Dank für deine Erklärungen!
kann es daran liegen, dass man zeigen soll, dass T ein erwartungstreuer Schätzer ist für [mm] \theta \rightarrow E_{\theta}^n[X_1], [/mm] also dass es dieser Erwartungswert aus dem Produktraum ist? Wir schreiben das immer noch mit so einem Tensor-zeichen vor dem n, das konnte ich hier nicht eingeben.
weil wenn dieser [mm] E_{\theta}^n[X_1] [/mm] = [mm] \frac{1}{\theta}, [/mm] dann hätten wir doch das gezeigt...?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Mi 30.05.2007 | | Autor: | luis52 |
> weil wenn dieser [mm]E_{\theta}^n[X_1][/mm] = [mm]\frac{1}{\theta},[/mm]
> dann hätten wir doch das gezeigt...?
Das sehe ich genauso.
lg
Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:53 Mi 30.05.2007 | | Autor: | Riley |
Hi Luis,
cool, vielen Dank für deine Hilfe! :)
Viele Grüße,
Riley
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