f(A,B)=tr(AB) bilinear Basis < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Do 05.05.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Sei f(A,B)=tr(AB) die bilineare Abbildung $VxV [mm] \rightarrow \IR$ [/mm] wobei [mm] $V=M_{\IR}(2)$
[/mm]
a) Man berechne [mm] $\psi_{BB}(f)$ [/mm] mit der Basis [mm] $B=(E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})$ [/mm]
b) Man finde eine Basis C so, dass [mm] $\psi_{BC}(f)=E_{4}.$
[/mm]
c) Man zeige, dass es keine Basis $D$ gibt, so dass [mm] $\psi_{DD}(f)=E_{4}$ [/mm] |
Hallo,
a) Es ist:
[mm] $E_{11}=\vektor{1&1\\0&0}, E_{12}=\vektor{1&0\\0&1}, E_{22}=\vektor{0&0\\1&1}, E_{21}=\vektor{0&1\\1&0}$
[/mm]
dann ist [mm] $f((E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})=tr(E_{11}E_{12}E_{21}E_{22})= tr(\vektor{1&1\\0&0}) [/mm] = 1
und Die Abbildungsmatrix [mm] $\psi_{BB}(f)=(1,0,0,0) [/mm] = [mm] E_{1}$
[/mm]
b) [mm] $E_{4}=\vektor{0\\0\\0\\1}$
[/mm]
Wie macht man denn einen umgekehrten Basiswechsel, wenn man das hier überhaupt machen muss??
c) soll ich hier alle möglichen Kombinationen von Basen ausprobieren? Also quasi eine Fallunterscheidung? Wäre das überhaupt richtig?
Wie ginge es denn effizienter?
Danke und Gruss
kushkush
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> Sei f(A,B)=tr(AB) die bilineare Abbildung [mm]VxV \rightarrow \IR[/mm]
> wobei [mm]V=M_{\IR}(2)[/mm]
>
>
> a) Man berechne [mm]\psi_{BB}(f)[/mm] mit der Basis
> [mm]B=(b_1:=E_{11},b_2:=E_{12},b_3:=E_{21},b_4:=E_{22})[/mm]
>
> b) Man finde eine Basis C so, dass [mm]\psi_{BC}(f)=E_{4}.[/mm]
>
> c) Man zeige, dass es keine Basis [mm]D[/mm] gibt, so dass
> [mm]\psi_{DD}(f)=E_{4}[/mm]
> Hallo,
>
> a) Es ist:
>
>
> [mm]E_{11}=\vektor{1&1\\
0&0}, E_{12}=\vektor{1&0\\
0&1}, E_{22}=\vektor{0&0\\
1&1}, E_{21}=\vektor{0&1\\
1&0}[/mm]
Hallo,
woher kommen diese [mm] E_i_j? [/mm] Hattet Ihr die in der Vorlesung so definiert?
>
> dann ist
> [mm] f((E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})
[/mm]
Blödsinn!
f bildet doch aus dem [mm] V\times [/mm] V heraus ab und nicht aus [mm] V\timesV\times V\times [/mm] V.
> [mm]$f((E_{11},E_{12},E_{21},E_{22})=tr(E_{11}E_{12}E_{21}E_{22})= tr(\vektor{1&1\\
0&0})[/mm]
> = 1
Wenn [mm] B:=(b_1, [/mm] ..., [mm] b_4), [/mm] dann bekommst Du den Eintrag der Darstellungsmatrix der bilinearen Abbildung f, welcher an der Position i-te Zeile/j-te Spalte steht, mit [mm] f(b_i,b_j).
[/mm]
>
> und Die Abbildungsmatrix [mm]\psi_{BB}(f)=(1,0,0,0) = E_{1}[/mm]
???
Die Darstellungsmatrix der Bilinearform muß doch eine [mm] 4\times [/mm] 4-Matrix sein.
>
> b) [mm]E_{4}=\vektor{0\\
0\\
0\\
1}[/mm]
Welche bBzeichnungen sind bei Euch üblich?
Daß [mm] E_4 [/mm] hier ein Spaltenvektor ist, paßt überhaupt nicht.
Damit muß irgendeine Matrix gemeint sein.
>
> Wie macht man denn einen umgekehrten Basiswechsel, wenn man
> das hier überhaupt machen muss??
Man muß hier keinen umgekehrten Basiswechsel machen.
>
> c) soll ich hier alle möglichen Kombinationen von Basen
> ausprobieren? Also quasi eine Fallunterscheidung? Wäre das
> überhaupt richtig?
>
> Wie ginge es denn effizienter?
Wenn wir erstmal wissen, was [mm] E_4 [/mm] ist, können wir uns immer noch Gedanken über Effizienz machen.
Gruß v. Angela
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