f'(x)= -x*f(x) < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass f(x):= [mm] e^{\bruch{-x^2}{2}} [/mm] der Differentialgleichung
(D) f'(x)= -x*f(x)
mit f(0)= 1 genügt. Zeigen Sie auch umgekehrt, dass jede differenzierbare Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit f(0)=1 , die (D) genügt, der Beziehung f(x) = [mm] e^{\bruch{-x^2}{2}} [/mm] für x [mm] \in \IR [/mm] genügt. |
Die Hinrichtung ist ja simpel. Da muss ich ja nur die Ableitung der Funktion bilden und sie mit (D) vergleichen und x=0 einsetzen.
Aber die Rückrichtung macht mir Probleme. Ich habe erst folgendes versucht:
In der Vorlesung hatten wir den Satz:
f: [mm] \IC \to \IC [/mm] beliebige Funktion mit f(z)*f(w)=f(z+w) [mm] (\forall [/mm] z,w [mm] \in \IC) [/mm] und [mm] \limes_{z\rightarrow\0} \bruch{f(z)-1}{z}=1 \Rightarrow [/mm] f(z)=exp(z) [mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IC
[/mm]
Mit diesem Satz wollte ich arbeiten:
(i) [mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{f(x)-1}{x}= \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{f'(x)}{1} [/mm] = 1
(ii) f(x)*f(y) = (f'(x)+x)*(f'(y)+y) = f'(x)*f'(y) + f'(x)*y + f'(y)*x + xy
Aber bei (ii) komm ich nicht weiter...
Dann sagte mir mein Übungsgruppenleiter, ich sollte lieber mit folgendem Satz arbeiten:
f: [mm] \IR \to \IR [/mm] diff'bar ,a [mm] \in \IR [/mm] : f'(x)=a*f(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR \Rightarrow f(x)=c*e^{ax}
[/mm]
Mein Versuch dies anzuwende ergab:
f'(x)= -x*f(x) [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) = [mm] c*e^{-x^2}
[/mm]
f(0) = [mm] c*e^{-x^2} [/mm] = [mm] c*e^0 [/mm] = c*1 = c = 1
[mm] \Rightarrow f(x)=e^{-x^2}
[/mm]
Aber das ist ja nicht die gesuchte Funktion!
Wer kann mir helfen?
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Hallo fagottator,
kennst du Differentialgleichungen und dort insbesondere Trennung der Veränderlichen?
Damit lässt sich die Rückrichtung schnell zeigen:
Alternativ kannst du zu Fuß integrieren (was hier im Prinzip nix anderes ist  )
Schreibe etwas um:
Sei $f$ eine Funktion blabla, die [mm] $f'(x)=-x\cdot{}f(x)$ [/mm] erfüllt.
[mm] $f\equiv [/mm] 0$ können wir dabei ausschließen, die erfüllt ja $f(0)=1$ nicht
Also können wir durch $f(x)$ teilen:
[mm] $\Rightarrow \frac{f'(x)}{f(x)}=-x$
[/mm]
Nun beiderseits integrieren:
[mm] $\Rightarrow \int{\frac{f'(x)}{f(x)} \ dx}=\int{-x \ dx}$
[/mm]
Nun steht linkerhand ein logarithmisches Integral, dessen Stfkt. bekannt sein sollte.
Falls nicht, löse es durch Substitution: $u=u(x):=f(x)$
Mache das alles mal, integriere auch rechterhand und löse dann die Gleichung, die du herausbekommst, nach $f(x)$ auf.
Die Integrationskonstante $C$ kannst du dann durch die sog. Anfangsbedingung $f(0)=1$ ausrechnen ...
Gruß
schachuzipus
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Ich danke dir für deine Antwort, aber wir haben in der Vorlesung noch nicht integriert! Also muss es doch auch noch einen anderen Weg geben.
Gibt es keine Möglichkeit von dem Punkt, an dem ich angelangt bin, weiter zu machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Sa 16.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo fagottator!
Dann musst Du halt $f'(x)_$ bestimmen und dann mit $-x*f(x)_$ vergleichen.
Gruß
Loddar
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