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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Sa 14.07.2007 | | Autor: | nix19 |
| Aufgabe | | [mm] f(\bruch{1}{x})=x+\wurzel{1+x^2}, [/mm] x>0. Aufgabe: Gib f(x) an |
Ich versuche die Aufgabe jetzt schon seit einer Stunde zu machen, komme aber auf keinen Grünen Zweig:
Substitioniert: [mm] \bruch{1}{x}=t
[/mm]
Dann ist [mm] x=\bruch{1}{t} [/mm] und das eingesetzt in die Gleichung:
[mm] f(t)=\bruch{1}{t}+\wurzel{1+\bruch{1}{t^2}}
[/mm]
so und dann weiß ich nicht wie ich weitermachen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Sa 14.07.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du willst also eine Funktion der Form f(x) haben.
Jetzt habe ich überlegt: Wenn ich eine Funktion habe, und für jedes x 1/x einsetzte, so soll für den ersten Summanden x herauskommen.
Wann passiert das?
Wenn ich in 1/x für x 1/x einsetzte, so steht dort hinterher ein x....
Mit dieser Überlegung kannst du die Wurzel auch "schlachten".
EDIT: Sry, hab nich genau hingesehen, das Ergebnis hast du da ja auch schon stehen mit der Überlegung.
Weitere Umformung siehe Loddars Post.
LG
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 Sa 14.07.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo nix!
Das sieht doch schon sehr gut aus ... und nun noch etwas die Wurzel umformen, indem Du die beiden Terme gleichnamig machst:
[mm]f(t) \ = \ \bruch{1}{t}+\wurzel{1+\bruch{1}{t^2}} \ = \ \bruch{1}{t}+\wurzel{\bruch{t^2+1}{t^2}} \ = \ \bruch{1+\wurzel{1+t^2}}{t}[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:04 Sa 14.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Das Ergebnis ist schon richtig und die Idee ist auch i.O. und alles in allem ist die Lösung OK. Ich finde aber nur, dass man einen Zwischenschritt machen soll, bevor man eine Substitution durchführt. Du willst ja 1/x durch t substituieren. Das Problem ist, dass da (noch) nirgendwo ein 1/x steht. Deswegen sollte man korrekterweise so umformen:
[mm] f(\bruch{1}{x})=x+\wurzel{1+x^{2}}=\bruch{1}{\bruch{1}{x}}+\wurzel{1+\left(\bruch{1}{\bruch{1}{x}}\right)^{2}}.
[/mm]
Jetzt darf man substituieren und kommt ohne weiteres auf dein Ergebnis - [mm] f(x)=\bruch{1+\wurzel{x^{2}+1}}{x}.
[/mm]
Gruß,
dormant
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