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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 So 04.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
| Aufgabe | f : [mm] \IR [/mm] ohne [mm] {-\bruch{4}{3}} \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto \bruch{2x-1}{3x+4}
[/mm]
Zeige injektivität und zeichne den Graphen. |
Das mit dem zeichnen hab ich glücklicherweise nicht verlernt und mache ich immer zuerst.
Jetzt soll ich natürlich beweisen, dass diese Funktion injektiv ist und ich kann nicht einfach behaupten "Man sieht es doch an der Zeichnung" da ja die Zeichnung nicht alle [mm] x_{1},x_{2}\in\IR [/mm] zeigt sondern nur ein Ausschnitt.(Aber eins kann ich doch behaupten: die Zeichnung zeigt das es eine horizontale assymptote gibt, dessen y-Wert niemals von der Funktion getroffen werden kann, also ist sie nicht surjektiv. Und das gilt für alle gebrochen rationale Funktionen, die ja eine horizontale Assymptote haben.
Beweis durch "nicht injektiv":
Es gibt [mm] x_{1},x_{2} [/mm] mit [mm] x_{1}\not=x_{2} [/mm] und [mm] f(x_{1})=f(x_{2})
[/mm]
Wenn [mm] \bruch{2x_{1}-1}{3x_{1}+4} [/mm] = [mm] \bruch{2x_{2}-1}{3x_{2}+4} [/mm]
dann lässt sich offensichtlich daraus schließen, dass aus dem gleichen Term durch ein verschiedenes x nicht einfach der gleiche Wert rauskommen kann. Ich kann ja auch nicht behaupten das 1+2 = 1+3 ist.
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Hallo,
was ist denn genau deine Frage? Wenn du das so machen möchtest wie angesetzt, dann musst du es durchrechnen.
Ansonsten kann man bei stetigen Funktionen - so erlaubt - die Injektivuität leichter via Monotonie begründen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:09 So 04.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
stimmt! wenn ich so darüber nachdenke beweist das Monotonieverhalten eben genau diesen Sachverhalt..
Danke:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 So 04.11.2012 | | Autor: | abakus |
> f : [mm]\IR[/mm] ohne [mm]{-\bruch{4}{3}} \to \IR,[/mm] x [mm]\mapsto \bruch{2x-1}{3x+4}[/mm]
>
> Zeige injektivität und zeichne den Graphen.
> Das mit dem zeichnen hab ich glücklicherweise nicht
> verlernt und mache ich immer zuerst.
>
> Jetzt soll ich natürlich beweisen, dass diese Funktion
> injektiv ist und ich kann nicht einfach behaupten "Man
> sieht es doch an der Zeichnung" da ja die Zeichnung nicht
> alle [mm]x_{1},x_{2}\in\IR[/mm] zeigt sondern nur ein
> Ausschnitt.(Aber eins kann ich doch behaupten: die
> Zeichnung zeigt das es eine horizontale assymptote gibt,
> dessen y-Wert niemals von der Funktion getroffen werden
> kann, also ist sie nicht surjektiv. Und das gilt für alle
> gebrochen rationale Funktionen, die ja eine horizontale
> Assymptote haben.
>
>
> Beweis durch "nicht injektiv":
>
> Es gibt [mm]x_{1},x_{2}[/mm] mit [mm]x_{1}\not=x_{2}[/mm] und
> [mm]f(x_{1})=f(x_{2})[/mm]
> Wenn [mm]\bruch{2x_{1}-1}{3x_{1}+4}[/mm] =
> [mm]\bruch{2x_{2}-1}{3x_{2}+4}[/mm]
> dann lässt sich offensichtlich
"Offensichtlich" ist ein ganz gefährliches Wort in Beweisen (und wird oft verwendet, um eigene Unzulänglichkeiten in der Beweisführung zu verschleiern...).
Forme die Gleichung so lange um, bis [mm] $x_1=x_2$ [/mm] da steht.
Gruß Abakus
> daraus schließen, dass aus
> dem gleichen Term durch ein verschiedenes x nicht einfach
> der gleiche Wert rauskommen kann. Ich kann ja auch nicht
> behaupten das 1+2 = 1+3 ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 So 04.11.2012 | | Autor: | Maurizz |
Da hast du wohl recht, solche Kleinigkeiten haben mir schon öfters Punkte gekostet und auch wenn es offensichtlich für mich ist, muss es das nicht für jemand anderes sein.
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