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| Aufgabe | Welche der folgenden Funktionen ist gleichmäßig stetig?
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[mm]f: \IR \to \IR[/mm]
[mm]x \mapsto \frac{1}{1+x^2}[/mm]
...
Beweise das Ergebnis! |
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
Hi,
ich habe immer noch Probleme mein Delta und mein x zu finden.
[mm]|x-x_0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)| < \epsilon[/mm]
[mm]|...-1|<\delta \Rightarrow |\frac{1}{1+x^2}-1| = | \frac{1-1(1+x^2)}{1+x^2}| = |\frac{x^2}{1+x^2}| = ... < \epsilon[/mm]
Aber das bringt mich immer noch nicht zu meinem delta und muss ich das delta nicht im zweiten Teil verwenden und zeigen das dann alles kleiner epsilon ist?
Grüße,
Mareike
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Also das ist jetzt mal mein Lösungsversuch:
Zu zeigen ist doch:
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0 [mm] \forall x_{1}, x_{2} \in [/mm] D(f): [mm] |x_{1} [/mm] - [mm] x_{2}| [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow |f(x_{1}) [/mm] - [mm] f(x_{2})| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Dann mal los:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0.
[mm] |f(x_{1}) [/mm] - [mm] f(x_{2})| [/mm] = [mm] |\bruch{1}{1 + x_{1}^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1 + x_{2}^{2}}| [/mm] = [mm] |\bruch{1 + x_{2}^{2} - 1 - x_{1}^{2}}{(1 + x_{1}^{2})(1 + x_{2}^{2})}| [/mm] = [mm] \bruch{|x_{2}^{2} - x_{1}^{2}|}{|1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1}^{2}x_{2}^{2})|} [/mm] = [mm] \bruch{|x_{1}^{2} - x_{2}^{2}|}{|1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1}^{2}x_{2}^{2})|} [/mm] <
Bem. [mm] (|x_{1} [/mm] - [mm] x_{2}| [/mm] < [mm] \delta)
[/mm]
[mm] \bruch{|x_{1}^{2} - x_{2}^{2}|}{|1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1}^{2}x_{2}^{2})|} [/mm] < [mm] \bruch{\delta}{|1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1}^{2}x_{2}^{2})|} [/mm] <
Bem. [mm] (\forall [/mm] r [mm] \in \IR [/mm] : [mm] r^{2} \ge [/mm] 0)
[mm] \bruch{\delta}{|1 + x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1}^{2}x_{2}^{2})|} [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
Wähle also [mm] \delta [/mm] := [mm] \varepsilon, [/mm] mithin f(x) glm. stetig.
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