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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Fr 09.10.2009 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | | hat eine gruppe der Ordnung 8 noch mehr Normalteiler, als das Zentrum? |
Grundsätzlich weiß ich dass G eine p-Gruppe ist und damit auflösbar, dann gilt für die zwischengruppen [mm] G_i/G_i+1 [/mm] dass sie Ordnung 2 haben und dass [mm] G_i+1 [/mm] Normatleiler in [mm] G_i [/mm] ist.
Das hieße dass es einen weiteren Normalteiler gibt falls die erste Untergruppe nicht schon das zentrum ist, richtig?
Oder Moment mal dientergruppen eines Normalteilers sind auch immer Normalteiler, richtig?
Es wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Fr 09.10.2009 | | Autor: | statler |
Hi!
> hat eine gruppe der Ordnung 8 noch mehr Normalteiler, als
> das Zentrum?
Klar doch! Es gibt kommutative Gruppen der Ordnung 8 mit nichttrivialen Untergruppen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:29 Mi 28.10.2009 | | Autor: | jumape |
| Aufgabe | Ich glaube inzwischen, die Frage war so gemeint:
Hat jede Gruppe der Ordnung 8 noch andere Normalteiler als das Zentrum. |
Mein Lösungsansatz dazu ist:
Es ist eine p-Gruppe und damit auflösbar, so dass immer [mm] G_i/G_{i+1}\cong \IZ/2\Z, [/mm] richtig?
Das Zentrum ist nicht trivial. Es hat also eine Ordnung [mm] 2^r [/mm] mit r=1,2,3 Für r=1, gibt es also eine größere Untergruppe H die Normalteiler in G ist und G/H [mm] \cong \IZ/2\IZ [/mm] und damit gibt es einen kleineren Normalteiler.
Wenn r=2 ist, gibt es eine Untergruppe des Zentrums die Normateiler in Z ist, aber auch in G? Ja, oder?, denn jedes Element ist ja auch Element des Zentrums und vertauscht daher mit allen Elementen der Gruppe. Ist Z=G so ist sowieso jede Untergruppe Normalteiler.
Stimmt das so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 01.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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